Algèbre linéaire - Valeurs propres

[invitefc9cfbcc]

Bonjour, je suis coincé sur ce petit exercice depuis quelque temps, et je n'arrive pas à trouver le polynome P(X).
-3 0 -4
A= 4 -3 4
2 -2 3

Si quelqu'un pouvait me donner un petit coup de pouce et me débloquer la situation ce serait parfait

Merci
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[acx01b]

tu parles du polynôme caractéristique ?

sais-tu le calculer pour ?

[invitefc9cfbcc]

tu parles du polynôme caractéristique ?

sais-tu le calculer pour ?

Eh bien, je dirais que le polynome est X²-1
le problème, c'est qu'avec la matrice donnée, je trouve le polynome :
-X^3 - 3X² - 7X + 11 (en espérant que ce soit bien cela)
mais je n'arrive pas à trouver les racines correspondantes (à cause du 11..)

[invite9617f995]

Bonjour,

Je te conseille d'étudier la matrice A-I₃

Silk

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefc9cfbcc]

Bonjour,

Je te conseille d'étudier la matrice A-I₃

Silk

C'est bien ce que j'ai fait, et après avoir trouvé la "nouvelle" matrice A-I3 et après calcul du déterminant, je trouve le polynome mentionné plus haut, donc je ne trouve pas les racines, valeurs propres..

[invite9617f995]

Bonjour,

Je ne parlais pas de la matrice A-XI₃ dont le déterminant est le polynôme caractéristique mais d'un cas particulier : la matrice A-I.
Si tu l'écris, tu devrais remarquer une chose intéressante

Silk

[invite1e1a1a86]

C'est cela.
On peut aussi (c'est exactement pareil) trouver une racine évidente de:

-X^3 - 3X² - 7X + 11

en essayant des nombres simples...

[invitefc9cfbcc]

Eh bien, après avoir fait A-I3, et en opérant sur les colonnes C1 et C3, cela simplifie bien la matrice et au final, je trouve le polynome P(X) = -X(X+4)²
De ce fait, je trouve que les racines sont 0 de multiplicité 1 et -4 de multiplicité 2
(?)
Le problème, c'est que, selon le polynome trouvé sans aucune simplification (cad : -X^3 - .... + 11), je trouve la racine évidente 1.
Pourquoi est ce qu'il n'y a pas d'analogies entre les deux polynomes? je devrais pourtant trouver les memes racines?

[acx01b]

si les valeurs propres de sont alors les valeurs propres de sont avec la même multiplicité

[invite9617f995]

Le but de l'étude de A-I₃ était surtout de remarquer que 1 est valeur propre de A et que donc tu dois pouvoir factoriser le polynôme caractéristique de A par (X-1).

[invitefc9cfbcc]

Le but de l'étude de A-I₃ était surtout de remarquer que 1 est valeur propre de A et que donc tu dois pouvoir factoriser le polynôme caractéristique de A par (X-1).

Je vois, alors par contre, je suis particulierement novice dans l'algebre linéaire, et mon cours n'est pas réellement structuré, donc je galère pas mal..
je ne comprends pas du tout comment on peut trouver instantanément la valeur propre de 1 juste en faisant A-I..
Je suis plutôt embrouillé,donc si vous pouviez etre un peu plus explicite sur les étapes à effectuer, cela m'aiderait bien parce que je rame pas mal..

[acx01b]

si il existe un vecteur non nul tel que qu'est-ce qu'on peut dire sur les valeurs propres de ?

[invitefc9cfbcc]

si il existe un vecteur non nul tel que qu'est-ce qu'on peut dire sur les valeurs propres de ?

euh... je n'en sais rien du tout... (dsl..)

[invite9617f995]

Un petit rappel de base sur les valeurs propres qui te sera utile ici (A désigne une matrice d'ordre n) :
- par définition, λ est valeur propre de A si il existe un vecteur x non nul tel que Ax=λx (ce qui peut encore s'écrire (A-λI_n)x=0), on dit alors que x est un vecteur propre associé à la valeur propre λ
- λ est valeur propre si et seulement si il existe un vecteur non nul x tel que (A-λI_n)x=0, donc si et seulement si A-λI_n possède un noyau non nul, soit encore si et seulement si det(A-λI_n)=0
- les valeurs propres sont donc racines du polynôme caractéristique P(X)=det(A-XI_n), celui-ci est de degré n, tu as donc au plus n valeurs propres différentes
- si tu trouve une combinaison linéaire des colonnes de A-λI_n qui s'annule, alors λ est valeur propre (c'est pour ça qu'ici 1 est valeur propre)
- si jamais λ est valeur propre de A, alors le polynôme caractéristique P de A est divisible par (X-λ) : tu peux donc écrire P(X)=(X-λ)Q(X) avec Q de degré n-1, et donc te ramener à l'étude d'un polynôme de degré inférieur

La liste est très loin d'être exhaustive mais elle devrait déjà te permettre de résoudre des exercices de ce genre.

Silk