matrice

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bonjour,
j'aurai besoin d'aide pour résoudre la dernière question de cet exercice:

Soit f l'endomorphisme de R^3 dont la matrice dans la base canoniqueB0=(e1,e2,e3} est
A=0 a a² avec a un réel non nul
1/a 0 a
1/a² 1/a 0

a)déterminer kerA.En déduire ImA.
b) la matrice A est elle inversible ? si oui quel est l'inverse.
c)déterminer ker(A+I3). En déduire une base B1 et la dimension de Ker(A+I3)
c)déterminer ker(A-2I3). En déduire une base B2 et la dimension de ker (A-2I3)
f) Vérifier que E=B1 U B2 est une base de R^3 et écrire la matrice de passage de B0 à E
g) Ecrire la matrice A' de f dans la base E. Calculer A'^n et en déduire A^n


comme je l'ai dit la question g) me pose problème
comment écrire la matrice A' de f dans la base E?


merci de votre aide
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je me permet de relancer le post

[silk78]

Bonjour,

Les deux espaces Ker(A+I3) et Ker(A-2I3) sont des espaces propres donc des vecteurs leur appartenant ont une image très simple par f.
Ecris alors les images des vecteur de E dans la base E (direct quand on a vu que c'était des vecteur propres) et reviens à la définition de A'.

Silk

[369]

mais le problème est que je n'ai pas vu les vecteurs propres
sinon j'ai pensé à la formule de changement de base
A'=P^-1AP
mais le problème est que cette formule s'applique lorsque l'on a ,2 base dans l'espace de départ et d'arrivée

[A voir en vidéo sur Futura]

[silk78]

Bon même si tu n'as pas vu les vecteur propres, on peut quand même s'en servir sans le dire en fait.

Normalement tu devrais avoir trouvé Ker(A+I₃) de dimension 2. Soit (u,v) une base de Ker(A+I₃).

On a par définition (A+I₃)u=0 d'où Au=-u.
De même Av=-v.

Et si on prend w un vecteur de Ker(A-2I₃), qui est de dimension 1 alors Aw=2w.

Soit encore f(u)=-u, f(v)=-v et f(w)=2w. Donc en revenant à la définition, quelle est la matrice A' de f dans la base E=(u,v,w) ?

Silk

[369]

en A c'est comme si il s'agissait de f

[369]

j'aurai encore une question, comment déduire A^n
La matrice de passage que j'ai trouvé n'est pas inversible. De plus n'y aurait il pas un moyen qui m'éviterait de faire les produits successifs car A^n=PA'^nP^(-1)

[ericcc]

Si elle n'est pas inversible ce n'est pas une matrice de passage : en effet une matrice de passage transforme une base en une autre.

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comme matrice de passage j'ai trouvé:
0 -a a²
a 1 a
-1/a 0 1

[ericcc]

Peux tu donner tes bases B1 et B2 ?

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B1={(0,a,1/a),(-a,1,0)}
B2={(a²,a,1)}

[ericcc]

Que donne l'image par A du premier vecteur de B1 ?