Suites de Cauchy et convergence

invite0d9b859e · 14/03/2011, 21h21

Bonjour,

Voici l'énoncé: On se place dans E= $\text{[math]}$ muni de la norme infinie.
Montrer que si une suite ( $\text{[math]}$ ) vérifie la condition de Cauchy: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ >0, $\text{[math]}$ N $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ n,p>=N, || $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ||< $\text{[math]}$ , alors elle est convergente.

Je sais que si on prend l la limite de la suite, il me faut prouver $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ >0, $\text{[math]}$ N $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ n>=N, || $\text{[math]}$ -l||< $\text{[math]}$ . Ceci dit, je ne vois pas comment passer d'une écriture à l'autre.

Est-ce que vous pourriez me donner quelques indices SVP!
Merci d'avance

invite0a963149 · 14/03/2011, 21h36

ola
euh c'est la définition de la convergence,non ? où estle problème ?
Ciao

invite0a963149 · 14/03/2011, 21h40

[edit] dsl j'avais mal lu la question, il faut rapprocher l et xp, une caractérisation séquentielle de la continuité dans les evn semble bien convenir

invite0d9b859e · 14/03/2011, 22h28

Je vois pas du tout comment tu veux que j'utilise la caractérisation séquentielle de la continuité. Je n'ai aucune fonction continue, donc je ne vérifie pas les hypothèses.

En tout cas, merci pour ton aide!

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite57a1e779 · 14/03/2011, 23h18

Bonjour,

Le terme général $\text{[math]}$ de la suite est un élément de $\text{[math]}$ , c'est-à-dire un $\text{[math]}$ -uplet : $\text{[math]}$ .

Tu dois commencer par prouver que, pour tout indice $\text{[math]}$ , la suite $\text{[math]}$ , à termes réels, est une suite de Cauchy dans $\text{[math]}$ , donc convergente.

On note $\text{[math]}$ la limite de cette suite, ce qui permet de définir un élément $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ .

Il reste à prouver que la suite initiale converge, dans $\text{[math]}$ , vers $\text{[math]}$ pour la norme infinie.

invite0d9b859e · 15/03/2011, 12h58

Ok merci pour ton aide et la clarté de ta réponse.

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