dérivée d'un déterminant et coffacteur...

[invite9c7554e3]

Bonjour tous,

j'ai entendu parlé que la matrice des cofacteur que l'on utilise dans la formule d'inversion de matrice vient de la dérivée du déterminant de la matrice...

je ne comprends pas trop cela, pourriez vous m'éclairer?

==> connaissez vous la démonstration de la formule que l'on utilise pour inverser des matrices?

j'espere que vous pourrez m'aider....

merci
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[invite899aa2b3]

Bonjour,
en fait je crois que la formule dont tu parles vient plutôt de celle du développement du déterminant par rapport à une colonne.
Quand on fait le produit d'une matrice par sa matrice des cofacteurs, il faut regarder séparément le cas où on calcule un coefficient diagonal ou non.

[invite0a963149]

je sais pas trop, mais en tout cas, la matrice des cofacteurs, c'est la comatrice

[invite9c7554e3]

savez vous d'où vient cette équation en pièce jointe?
==> pourriez vous me donner la démonstration s'il vous plait?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9617f995]

Bonjour,

Je pense savoir à quelle relation tu fais référence dans ton premier message.

Soit A=(a_i,j)_1<=i,j<=n.

En utilisant les cofacteurs A_i,j, la formule de développement du déterminant par rapport à la i-ème ligne devient :


D'où la relation : .

Silk

[invite9c7554e3]

Bonjour,
Je pense savoir à quelle relation tu fais référence dans ton premier message.
Soit A=(a_i,j)_1<=i,j<=n.
En utilisant les cofacteurs A_i,j, la formule de développement du déterminant par rapport à la i-ème ligne devient :

D'où la relation : .
ilk

merci silk,

as tu une idée consernant la demonstration que j'ai mis en pièce jointe (je pense que la PJ va être validée bientot )

[invite9617f995]

Bonjour,

Voici une preuve possible. tout d'abord quelques notations :
A=(a_i,j) notre matrice de départ
com(A)=(C_i,j) la comatrice de A
^tcom(A)=(D_i,j) (avec bien entendu D_i,j=C_j,i)
B=A.^tcom(A)=(b_i,j)


Calculons d'abord les b_i,i :

(par la formule de développement du déterminant par rapport à la i-ème ligne)


Puis les b_i,j pour i et j différent :



Construisons alors la matrice M dont la première ligne est la i-ème ligne de A et les n-1 dernières lignes sont toutes les lignes de A sauf la j-ème.
Par construction, les cofacteurs de la 1ère ligne de M sont ceux de la j-ème ligne de A. Donc en développant par rapport à la première ligne, on trouve :


Or i étant différent de j, la i-ème ligne de A se trouve dans les n-1 dernières lignes de M, donc les lignes de M ne sont pas libres d'où det(M)=0.

On trouve donc pour i différent de j : b_i,j=0.


Conclusion : A.^tcom(A)=det(A).I_n
CQFD

Silk

[invite9c7554e3]

Bonjour,
Voici une preuve possible. tout d'abord quelques notations :
A=(a_i,j) notre matrice de départ
com(A)=(C_i,j) la comatrice de A
^tcom(A)=(D_i,j) (avec bien entendu D_i,j=C_j,i)
B=A.^tcom(A)=(b_i,j)
Calculons d'abord les b_i,i :
(par la formule de développement du déterminant par rapport à la i-ème ligne)
Puis les b_i,j pour i et j différent :

Construisons alors la matrice M dont la première ligne est la i-ème ligne de A et les n-1 dernières lignes sont toutes les lignes de A sauf la j-ème.
Par construction, les cofacteurs de la 1ère ligne de M sont ceux de la j-ème ligne de A. Donc en développant par rapport à la première ligne, on trouve :

Or i étant différent de j, la i-ème ligne de A se trouve dans les n-1 dernières lignes de M, donc les lignes de M ne sont pas libres d'où det(M)=0.
On trouve donc pour i différent de j : b_i,j=0.
Conclusion : A.^tcom(A)=det(A).I_n
CQFD
Silk

merci beaucoup SILK