Un Vect sympa

[invite2b14cd41]

Salut, voici l'exercice qui me pose des difficultés:
On se place dans le espace vectoriel . Soit G l'ensemble de tous les intervalles inclus dans [0,1]. Si I est un tel intervalle, on note la fonction caractéristique de I. Trouver .
Il me parait clair que ce Vect sera égal à E, mais je n'arrive pas à le prouver...
Merci d'avance.
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Il me semble que l'espace vectoriel engendré par les fonctions caractéristiques d'intervalles est réduit aux fonctions en escaliers.

[invite2b14cd41]

Bonjour,

Il me semble que l'espace vectoriel engendré par les fonctions caractéristiques d'intervalles est réduit aux fonctions en escaliers.

Ah bon? Mais comme G représente une infinité (non dénombrable) d'intervalles, j'ai cru qu'on pouvait prolonger par densité à toutes les fonctions.

[invite0a963149]

intuitivement je dirais que le vect c'est IxIR

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite00970985]

Ah bon? Mais comme G représente une infinité (non dénombrable) d'intervalles, j'ai cru qu'on pouvait prolonger par densité à toutes les fonctions.

D'une non, cet argument de densité ne fonctionne pas pour toutes les fonctions ; il faudrait restreindre aux fonctions continues, ou intégrables.

De deux, même si les éléments de ton espace étaient approchables par des fonctions en escaliers, mettons les fonctions continues par exemple, ton argument ne marcherait pas. Lorsque tu écris :
, F est l'ensemble des combinaisons linéaires finies des fonctions caractéristiques. Et une somme finie d'indicatrices ne te donnera que très rarement une fonction contiue

[invite57a1e779]

Un élément de l'espace est une combinaison linéaire de la famille , donc s'écrit : , les étant les fonctions caractéristiques d'un nombre fini d'intervalles .

Une telle combinaison linéaire est une fonction en escaliers.

[invite2b14cd41]

D'une non, cet argument de densité ne fonctionne pas pour toutes les fonctions ; il faudrait restreindre aux fonctions continues, ou intégrables.

De deux, même si les éléments de ton espace étaient approchables par des fonctions en escaliers, mettons les fonctions continues par exemple, ton argument ne marcherait pas. Lorsque tu écris :
, F est l'ensemble des combinaisons linéaires finies des fonctions caractéristiques. Et une somme finie d'indicatrices ne te donnera que très rarement une fonction contiue

Merci. J'avais effectivement des doutes sur ce que j'avançais. C'est maintenant bien plus clair dans ma tête.

[invite0a963149]

intuitivement je dirais que le vect c'est IxIR

Censure svp ...