Caractères d'un groupe fini - sous groupe de C*

[invite7c6483e1]

Bonjour,
Je dois montrer ceci:
Soit un groupe fini quelconque. Montrer que est un sous-groupe de que l'on déterminera. (où est le groupe dual de ).

On sait que contient .
Mais la partie difficile [pour moi] est la stabilité en tant que sous groupe de :
,, , ?

A priori c'est ce qu'on est censé montrer non ? puisque le caractère et l'élément qu'on prend peuvent être quelconques...

[invite7c6483e1]

Désolé pour l'accolade avant le "appartient à H" c'est une erreur de frappe en latex...

[invite7c6483e1]

UP ? personne pour me filer un coup de main ? ^_^

[invitea0db811c]

Bonjour,

On considère n le plus petit entier tel que f^n = 1 pour tout f dans le dual de G. Il est alors clair que l'ensemble considéré est inclus dans l'ensemble des racine n-ième de l'unité, et donc pour avoir le résultat il suffit de montrer qu'on les a toutes. On pose :

sa décomposition en produits de facteurs premier, pour tout i il existe dans le dual de G tel que est d'ordre (il existe par minimalité de n). Alors l'élément est d'ordre n, ie il existe g dans G tel que f(g) engendre toutes les racines n_ième de l'unité, ce qui clot la preuve...

Bon je suis pas tout à fait sur de moi, j'ai pas beaucoup dormi cette nuit, mais ça m'a l'air juste.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7c6483e1]

Merci Thepasboss, mais ya un truc qui me chiffonne: On a autant de caractères que d'éléments du groupe G par bijection. Or on regarde l'ensemble des pour tous les et tous les ... On est censés en avoir , si ...

Du coup c'est pour ça que je ne voyais plus quel groupe ça pouvait être ...
En tout cas merci pour ton aide, même si je ne demandais pas la solution, juste des indications

[invite57a1e779]

Or on regarde l'ensemble des pour tous les et tous les ... On est censés en avoir , si ...

L'application n'est pas bijective...

[invitea0db811c]

Une petite erreur de ta part fulli :

Si le groupe n'est pas commutatif, il n'y pas autant de caractère que d'éléments de G: Il y'en a strictement moins (il y'en a exactement G/D(G) si je ne raconte pas n'importe quoi).

Et désolé de t'avoir un peu gaché la recherche, mais je n'ai pas réussi à trouver de moyen d'indiquer la voie sans de toute façon tout prémacher.

[invite7c6483e1]

Merci à vous deux! En effet, erreur bête ... Le groupe dual est abélien et il n'y a pas de raisons qu'il soit toujours isomorphe au grouep en question (si ce dernier n'est pas lui même abélien). D'où l'intérêt de quotienter par le grouep dérivé...

Ok il me reste une question: je ne vois pas pourquoi il existe forcément un caractère d'ordre ...

[invitea0db811c]

Suppose par l'absurde que ça ne soit pas le cas, ie que l'ordre d'un caractère f quelconque ne soit pas divisible que par une puissance strictement plus petite de p, et déduis en une contradiction sur la minimalité de n.

[invite7c6483e1]

Je suis désolé, je n'y arrive pas vraiment Avec mes notations:
Tu prends le plus petit entier tel que . Soit. Outre le fait que je n'aurais jamais pensé à prendre ça a priori, je ne comprends toujours pas bien pourquoi on aurait forcément un caractère d'ordre pour tout .

Le truc c'est que je ne vois pas bien comment nier le prédicat: . En effet, je pourrais dire avec . Ou simplement dire que pour tout , l'ordre de n'est pas la puissance d'un seul nombre premier apparaissant dans la décomposition de ...
J'ai raté un truc en théorie des groupes sur les ordres ou quoi ?

[invite57a1e779]

Bonjour,

Le truc, c'est que est le ppcm des ordres des caractères .