Salut , ca fait des heures que j'essaie de trouver la reponse a la deuxieme question de cet exercice mais en vain j'ai essayé l'absurde mais je n'arrive pas a une contradiction :
Soient (G; .) un groupe fini d'ordre pair, S l'ensemble des elements de G d'ordre 2;c'est a dire :
S = {x £ G; x^2 = e et x #e}
1. Montrer que la relation R definie dans G par : xRy , (y = x ou y = x^-1) est une relation
d'equivalence.
2. En deduire que Card(S) est impair.
merci !!
Lorsqu'on a une relation d'équivalence sur un groupe, on peut toujours partitionner le groupe en l'ensemble de ses classes d'équivalence :
On regroupe ainsi tous les éléments qui sont en relation par. Il y a trois possibilités de classes :
- Celle de l'identité, qui est réduite à l'identité
- Celles d'éléments de S, qui sont réduites à un élément (par définition de S)
- Celles d'éléments qui ne sont pas dans S et distincts de l'identité : elles sont de cardinal 2 exactement (
Puisque c'est une partition, i.e. G s'écrit comme réunion disjointe des classes, on a le cardinal de G qui est la somme des cardinaux des classes. Or, la somme des cardinaux des classes d'éléments de S étant le cardinal de S (les classes étant toutes à un élément), on a le cardinal de G (qui est pair) qui s'écrit comme 1 (classe de l'identité) + card(S) + une somme de 2 (qui est donc paire).
Nécessairement, S est de cardinal impair.
En espérant avoir été clair (à défaut d'avoir été bref)
Salut,
Sers-toi de la question précédente pour construire une partition deEnvoyé par lyotee
2. En deduire que Card(S) est impair.
Edit : pfff Dydo a donné toute la solution.
salut !
tout d'abord merci pour vos reponses !! mais j'ai une question : pourquoi on peut partitionner un groupe en l'ensemble des classes d'equivalences ???
En fait c'est vrai pour n'importe quel ensemble, une relation d'equivalence est exactement la meme chose qu'une partition. Simplement parce que les 3 axiomes que verifient une relation d'equivalence implique que chaque element appartient a une et une seule classe d'equivalence, et donc les classes d'equivalences forment bien une partition. Inversement, si tu te donnes une partition, la relation "x equivalent a y ssi x et y appartiennent au meme morceau de la partition" est une relation d'equivalence.
C'est mal je sais, je m'en excuseEdit : pfff Dydo a donné toute la solution.
Mais bon, j'ai des connaissances tellement limitées dans le domaine que j'ai préféré tout rédiger, ne serait-ce que pour être sûr d'avoir bien compris
