analyse systhèse

[invite371ae0af]

bonsoir,
pouvez vous m'aider à faire l'analyse synthèse pour la question suivante:
montrer que E=ker(u-idE)+ker(u+idE) avec E un ev de dimension 2 et u un endomorphisme de E

Analyse: soit x dans ker(u+idE), y dans ker(u-idE) et z dans E
on cherche x et y tel que z=x+y
par définition on a u(x)=x et u(y)=-y
x=z-y=z+u(y) et y=z-u(x)

le problème c'est que c'est pas ca, je vois que ca ne marche que lorsque je prend x=(z+u(x))/2 et y =(z-u(x))/2

mais comment le prouver?avec mes égalité précédentes j'aboutit jamais a ca

pour la synthèse je n'ai plus qu'à vérifier que ca marche


merci de votre aide
-----

[invitea0db811c]

Bonsoir,

Il manque une condition quelque part sur u. En effet si l'on prend u=(1/2)Id, ker(u+Id)=ker( (3/2)Id ) = {0} = Ker( (-1/2)Id ) = Ker(u-Id). Donc E ne peut être la somme des deux noyaux.

[invite371ae0af]

Soit A un élément de R(2) tel que que A soit différent de la matrice identité et différent de - I et soit u l'endomorphime de E dont la base B est A
B=(e1,e2)
R(2)={A dans M2(R),A²=I}

[invitea0db811c]

je ne suis pas sur de comprendre ta dernière phrase,

u vérifie u²=id ? Si oui c'est très facile, il suffit de remarquer que :

(u-Id)o(u+Id) = 0 et de s'en servir pour montrer que chacun des noyaux considéré est de dimension 1, puis...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

oui mais moi je cherche à comprendre le raisonnement par analyse synthèse
comment il fonctionne et quand on l'applique
Par exemple dans mon problème, j'ai essayé une analyse synthèse mais ca ne fonctionne pas et j'aimerai savoir pourquoi


sinon ce que tu dis permets de faire autrement et c'est plus rapide

[invitea0db811c]

dans ton analyse, tu ne vas pas assez loin, et donc tu n'exploite pas la propriété de u qui est fondamentale :

x = z + u(y) et y = z - u(x). Donc x = z + u(z - u(x) ) = z + u(z) - x. D'où x = (z + u(z))/2 et donc y = (z - u(z))/2.

La vérification est évidente.

[invite371ae0af]

j'aurais encore une question comment montrer que les 2 noyaux sont des droites vectorielles en sachant qu'ils sont en somme directe

[invite371ae0af]

j'ai pensé faire par la dimension
comme dim E=2 on a dimker(u-idE)=1 et dimker(u+idE)=1 mais qui me dit que la dimension d'un des noyaux n'est pas 0?

[invite57a1e779]

Si Ker(u-id) est réduit à 0, alors Ker(u+id)=E et u=-id.
Si Ker(u+id) est réduit à 0, alors Ker(u-id)=E et u=id.

[invite371ae0af]

donc les 2 noyaux sont des droites vectorielles

merci de votre aide

[invite0a963149]

Analyse synthèse c'est pas compliqué ...

Tu suppose que le résultat est vrai et tu en tires des conclusions du type "le résultat si et seulement si cette propriété est vraie" et le but du jeu c'est de trouver une propiété facile a montrer avec les conditions initiales