limite d'intégrale

[titi07]

bonsoir à tous
j'ai une question à vous poser concernant le calcul des limites d'intégrales, alors voila:


Merci de me donner des indications concernant la solution...
Cordialement...
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[invitea0db811c]

bonsoir,

un peu au hasard, écrire le cosinus sous forme d'exponentiel complexe et tenter d'intégrer par partie brutalement, pour passer à la limite ensuite ? Je propose cela sans vérification, donc peut-être est se stérile ou peut-être y a t'il une méthode plus élégante.

[Tiky]

J'ai fait une erreur de calcul. Je reprends dans le post suivant.

[invite9617f995]

Bonjour,

Je pense avoir une solution possible, même si c'est un peu compliqué.

Je commencerais par utiliser l'identité, cos²(a)=(1+cos(2a))/2.
On obtient alors deux intégrales : une d'une fonction puissance qui se calcule très facilement et une autre avec un simple cos (et pas un cos²).

Je propose ensuite une intégration par partie,en primitivant le cosinus, ce qui donne une nouvelle intégrale qui ressemble mais qui est divisée par 2n. Du coup en prouvant que l'intégrale converge vers un réel, comme on divise par 2n, on prouve que la seconde intégrale tend vers 0.

Pour prouver que l'intégrale en question converge, je n'en dis pas plus pour le moment, pour te laisser chercher un peu.

Bon et il faut voir qu'il y a sans doute d'autre moyen (notamment le fait que (1+x/n)ⁿ possède une majoration simple, qui vient de la concavité de ln(1+u), même je n'ai pas vraiment pu conclure en passant pas là).

Bon courage,
Silk

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Il faut poser le changement de variable . L'objectif étant de faire disparaitre le n dans les bornes de l'intégrale.

On obtient alors :


On pose . Le théorème de la converge dominée peut peut-être permettre de conclure. Les fonctions sont continues et la limite admet un seul point de discontinuité en .

[Tiky]

En fait on n'a pas besoin du théorème que j'ai cité précédemment. Il suffit de remarquer que la suite de fonctions converge uniformément sur tout intervalle de la forme avec .

Soit . Montrons que

On pose


Et cela pour afin que

[invite9617f995]

J'ai peur qu'il y ait une erreur dans ton raisonnement Tiky, en effet, en faisant le changement de variable u=x/n, on multiplie l'intégrale par n, on ne la divise pas, du coup on a une forme indéterminée ici (qui d'ailleurs ne vas pas tendre vers 0 il me semble).

[Tiky]

J'ai peur qu'il y ait une erreur dans ton raisonnement Tiky, en effet, en faisant le changement de variable u=x/n, on multiplie l'intégrale par n, on ne la divise pas, du coup on a une forme indéterminée ici (qui d'ailleurs ne vas pas tendre vers 0 il me semble).

Oui je viens de le réaliser... tant pis . Je te laisse la suite.