Intégrale double: intersection de deux cercle

[invite9f95f6e7]

bonjour !
j aimerais bien etre éclairéé sur une question sur les integrales doubles car je commencer ce cours !
soit l ensemble D tel que D : x² + y² <=1 et x²+y²-2x <= 0
faut calculer l aire .

L'ensemble D est donc l'intersection de l interieur du cercle unité ,bord compris,avec l'interieur du cercle de centre ( 1,0) et de rayon 1, bord compris .

alors , en coordonnées polaire :
la condition x² + y² <=1 se traduit par r<1
et la condition x²+y²-2x <= 0 se traduit par r< 2cos(teta)
ma question est la suivante : quel encadrement de r faut prendre ?? par exemple si je prends r <1 j obtiens 0<r<1 et donc teta appartient à [-pi/2, pi/2] (comme cos (teta)>0 )
et si je prends r < 2 cos (teta) j obtiens r <1 < 2 cos (teta)
avec teta appartient à l intervalle [-pi/2, pi/2] ? ce raisonnement est correct???
on peut parler de la symetrie ici??ca change rien?
merci d avance
-----

[invite57a1e779]

Bonjour,

L'ensemble D est défini, en travaillant avec positif, par les conditions :

Comme tu l'as remarqué ces conditions imposent , donc limitent à l'intervalle .

En ce qui concerne , les inégalités et ne peuvent être rassemblées que dans la seule inégalité : .

L'ensemble D est donc défini par les conditions :

La dernière condition nécessite de scinder les intégrales en , par relation de Chasles, pour se ramener à des intervalles sur lesquelles la valeur de est uniforme.

[invite9f95f6e7]

[QUOTE=God's Breath;3495758]Bonjour,



Bonjour !
Merci bcp pour ta réponse
bon, selon ce que j ai compris , je trouve la chose suivante :
( voir le fichier )
( une question stplé si on a r >a et r >b on trouve r >max (a,b) )

Merci d avance

[invite9f95f6e7]

et si on utilise les coordonnées cartesiennes dans ce cas???

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

et si on utilise les coordonnées cartesiennes dans ce cas???

ben oui pouquoi pas.
on voit vite que l'intersection se fait en x=1/2.
donc la surface de l'intersection vaut 2 fois la surface de la portion du premier cercle entre 1/2 et 1.
coupé verticalement en 1/2( egale à celle entre 0 et 1/2 pour le second cercle ).
l'integration est facile.

[invite9f95f6e7]

MERCI Ansset!
donc on prend comme borne pour la premiére integrale 0 <x<1/2 et 0<y<racine ( 2x² -x²) et pour la deuxième integrale 1/2 <x <1 avec 0<y<racine ( 1-x²) et on multiplie le résultat
par 2 ?? c bien ça?

[ansset]

MERCI Ansset!
donc on prend comme borne pour la premiére integrale 0 <x<1/2 et 0<y<racine ( 2x² -x²) et pour la deuxième integrale 1/2 <x <1 avec 0<y<racine ( 1-x²) et on multiplie le résultat
par 2 ?? c bien ça?

désolé mais je ne comprend pas tes calculs.
il n'y a qu'une integrale entre 1/2 et 1 a calculer.
et je ne comprend pas la tienne.
ensuite il suffit de multiplier par 2 pour avoir la surface totale d'intersection.

[invite9f95f6e7]

désolé mais je ne comprend pas tes calculs.
il n'y a qu'une integrale entre 1/2 et 1 a calculer.
et je ne comprend pas la tienne.
ensuite il suffit de multiplier par 2 pour avoir la surface totale d'intersection.

Bonsoir Ansset !
mais si 1/2<x <1 alors pour y?? j ai essayé de dessiner le domaine mais j ai du mal à bien préciser les bornes

[ansset]

bonjour,
on parle de cercle donc x²+y²=1
donc y = +/- rac( 1-x²)
l'integrale à trouver est donc
Int( de 1/2 à 1) de rac(1-x²)dx.
ensuite il faut multiplier par 4 ( haut et bas de la surface (x2 puis par symetrie l'autre partie donc encore x2)

[invite9f95f6e7]

bonjour,
on parle de cercle donc x²+y²=1
donc y = +/- rac( 1-x²)
l'integrale à trouver est donc
Int( de 1/2 à 1) de rac(1-x²)dx.
ensuite il faut multiplier par 4 ( haut et bas de la surface (x2 puis par symetrie l'autre partie donc encore x2)

MERCI! je vois bien mnt l intégrale mais j ai une autre question stplé
le fait qu on a par exemple <= ou < ca change rien au niveau de dessin pour la determination des bornes.??

[invite9f95f6e7]

MERCI! je vois bien mnt l intégrale mais j ai une autre question stplé
le fait qu on a par exemple <= ou < ca change rien au niveau de dessin pour la determination des bornes.??

HI
lorsque je passe en polaire ca me donne pas le meme résultat
en prenant -pi/2 <teta<pi/2 et 0r<2cos(teta) et en prenant en consideration la symetrie

[ansset]

HI
lorsque je passe en polaire ca me donne pas le meme résultat
en prenant -pi/2 <teta<pi/2 et 0r<2cos(teta) et en prenant en consideration la symetrie

bonjour je ne comprend pas ce que j'ai mis en gras.
et si tu fais un petit changement de variable , tu verras que tu n'es pas entre -pi/2 et pi/2 puisque x>=1/2 ( je parle bien sur pour la première integrale avant multiplication par symétrie ).

[invite9f95f6e7]

bonjour je ne comprend pas ce que j'ai mis en gras.
et si tu fais un petit changement de variable , tu verras que tu n'es pas entre -pi/2 et pi/2 puisque x>=1/2 ( je parle bien sur pour la première integrale avant multiplication par symétrie ).

Bonsoir
c 0 <r<2cos (teta)
la condition x²+y²-2x <= 0 implique que r<2cos(teta) donc
0<r<2cos(teta) et ça entraine que cos(teta) >0 donc
-pi/2 <teta <pi/2