Le théorème de Wilson et les nombres de Mersenne

[inviteabb24736]

Bonjour à tous, je suis nouveau. Je débarque avec une question de mathématiques.

Voici une forme voisine du théorème de Wilson, appliquée aux nombres de Mersenne : (2^x - 2)! + 1 = y(2^x - 1)

Le point d'exclamation dans l'égalité est la factorielle. L'accent circonflexe est l'opérateur de puissance.

Question : calculer le nombre réel x tel que la dérivée dy/dx = 0.

La fonction gamma peut étendre la factorielle aux nombres complexes et aux nombres réels.

Si je pose la question c'est parce que je suis tombé sur un résultat, pour l'instant approximatif, mais qui est a priori intéressant. Un aperçu graphique est possible avec le site www.wolframalpha.com

La question est réservée aux spécialistes. C'est juste pour confirmer ou réfuter mon résultat. Merci d'avance.

Cordialement.
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[invite57a1e779]

Bonjour,

En notant , tu définis .

Donc ; comme ne s'annule pas, tu en déduis que est nul lorsque avec .

Je ne pense pas que l'on puisse calculer qui soit solution de cette dernière équation. Ma machine donne à près.

[inviteabb24736]

Ta réponse est bonne, elle répond à mes attentes. Il me semblait bien que la valeur recherchée était proche de √2 ou de 1 + √2 mais je n'en connaissais que l'approximation. Ainsi il est évident que le nombre réel recherché n'est pas égal à ce que j'avais supposé.

Mais en fait, ce n'est pas u = 2^x - 1 qui est recherché, mais le nombre x. Le calcul donne x = 1,80640883.