exercice sur la famille libre

[invite371ae0af]

bonsoir,
j'aurai besoin d'aide pour l'exercice suivant:
soit E un Kev et (v_k)_1<=k<=n une famille de vecteurs de E. Pour tout entier nalurel k<=n on pose:
u_k=

prouver que la famille (v_k)_1<=k<=n est libre ssi (u_k) 1<=k<=n

J'ai commencé par prouver l'implication vers la droite:
supposons que (vk) est libre. Montrons que (uk) est libre
supposons a1,a2,...,an dans R tel que a1u1+...+anun=0
d'après ce qui précède, a1v1+a2(v1+v2)+...+an(v1+...+v n)=0
(a1+a2+..+an)v1+(a2+...+an)v2+ ...+anvn=0
j'arrive à un système triangulaire
a1+a2+...+an=0
a2+...+an=0
.
.
.
an=0

mais arrivé là je ne vois pas comment continuer pour montrer que a1=...=an=0

pouvez vous m'aider?

merci
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[invite57a1e779]

Il suffit de résoudre le système triangulaire en soustrayant à chaque équation celle qui la suit.
La dernière fournit directement a_n=0.

[invite371ae0af]

bien vu merci