Famille libre

[jules345]

Bonjour, je dois montrer que la famille (fn) n dans N*est libre fn est défini tel que, c'est une fonction de R dans R :
x|->1/(x²+n²)
Merci de m'aider =).
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[invite986312212]

bonjour,

en principe il faut préciser dans quel module ou espace vectoriel tu te places, vu que selon les scalaires, une famille peut être libre ou pas. Mais je devine qu'il s'agit de l'espace vectoriel réel des fonctions de R dans R.

Tu devrais essayer de montrer le résultat pour juste 2 fonctions (distinctes!) de ta famille, ça te donnera des idées pour la suite.

[jules345]

Ben au début je voulais utiliser a1*f1+a2*f2+...+an*fn=0=>a1=a2 =...=an mais pour montrer cette implication dans ce cas la c'est dur. Sinon j'avais pensé à une disjonction des cas en partant du fait que au début on suppose tous les ai positifs donc pour montrer l'implication dans ce cas la c'est trivial le problème c'est qu'il faut considérer les autres cas.

[invite986312212]

bon, voyons pour le cas de deux fonctions. soient donc n et m deux entiers distincts, a et b deux réels, tels que a/(x^2+n^2)+b/(x^2+m^2)=0 (c'est-à-dire que la fonction est identiquement nulle). Ensuite... (il faut que tu participes un peu) il faut choisir des valeurs de x de façon à faire apparaître que a et b doivent être tous deux nuls.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jules345]

Ok mais ici x est quelconque bien que fixé non ? et m<=n aussi ?
Sinon si on prend n=2 on a
Soit au numérateur on doit avoir a1(x²+4)+a2(x²+1)=0 et la je dois montrer que le discriminant est inférieur à 0 mais je ne connais pas a1 ni a2

[invite986312212]

mmmh, on ne comprend pas la même chose: je crois que tu essaies de montrer que la famille des fn(x) est libre (est-ce que tu parles d'indépendance algébrique?) et moi je parle de la liberté de la famille des fonctions fn, vues comme éléments d'un espace fonctionnel que d'ailleurs tu ne définis pas.