Bonjour,
j'ai un problème bête qui me tracasse :
admettons que l'on soit dans une situation dans laquelle une personne à raison dans 70% des cas.
Que se passe t-il si on augmente le nombre de personnes ?
La fiabilité augmente t-elle, ou est elle égale à la moyenne des fiabilités de chaque personne (70 % ici) ?
Serait-il possible d'avoir une démonstration ?
Si j'ai bien compris la question, je dirais "oui la fiabilité augmente".
En effet, on a N personnes avec chacune une proba de 0.7 d'avoir raison. Puis on fait un vote majoritaire et on voit que la proba augmente :
La fiabilité augmente (et tend vers 1) quand la proba individuelle est > 50%.
Lorsque la proba individuelle est < 50%, alors le vote majoritaire diminue en fiabilité (et tend vers 0).
C'est la preuve qu'une démocratie fonctionne bien lorsque les électeurs sont des "gens avertis".
Mais dans le cas d'un "peuple crétin", une dictature fonctionne mieux !
merci pour vos réponse
Quel est le nom de votre formule, j'aimerai me renseigner dessus ?
C'est la loi binomiale http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_binomialeEnvoyé par LeFaucheur
C'est exactement ça, merci
cela dit, je ne comprends pas bien ce à quoi correspond, dans ce cas, le terme k parmi n ?
le coefficient binomial
d'où la probabilité
C'est parfait, merci beaucoup
Je rectifie tous mes lapsus entre p et k, q et n-k ...
le coefficient binomial
d'où la probabilité
oui c'est bon j'avais compris l'idée ^^
Merci
Soit dit au passage, il faut absolument que les avis des différentes soient indépendants pour que cela soit vrai. Sinon, il est extrêmement facile de trouver des situations (réelles, expériences de psycho...) où la "fiabilité" n'augmente pas avec le nombre de personnes.
Il faudrait préciser ce que l'on fait quand N est pair et qu'il n'y a pas de vote majoritaire. En tout état de cause la formule du message #2 n'est pas correcte dans ce cas.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Absolument, il y a un certain nombre d'hypothèses non-dites dans la réponse que je propose.
Dernière modification par leon1789 ; 22/04/2011 à 08h13.
Je laisse le soin au Faucheur de préciser.
Si l'inégalité de #2 n'est pas correcte dans le cas d'un nombre pair, donnez un contre-exemple car je n'en vois pas...
Je ne parle parle pas de l'inégalité en soi, mais de sa pertinence pour le problème de LeFaucheur dans le cas N pair.
La façon la plus naturelle (ce point est contestable) est de choisir au hasard quand il y a autant de réponse A que de réponse B, dans ce cas
Si vous ne voulez pas choisir de méthode dans le cas pair, alors il ne vous est pas possible de donner une réponse.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Vous parlez donc d'un terme qui ressemble à "correctif de continuité".La façon la plus naturelle (ce point est contestable) est de choisir au hasard quand il y a autant de réponse A que de réponse B, dans ce cas
Oui pourquoi pas, mais en général, on le passe sous silence.
On peut aussi recommencer l'expérience en cas d'égalité, ou tout autre moyen arbitraire.
Dans le cas N = 2, votre calcul donne 0.91, le mien 0.7, la différence me paraît suffisamment importante pour ne pas la glisser sous le tapis.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Oui, tout dépend de N.
Quand N est assez grand (hypothèse que l'on rencontre souvent en statistique), la probabilité de tomber sur une égalité est suffisamment faible pour être négligée.
Quand il n'y a pas de vote majoritaire, on ignore le vote.
J'ai entré le code pour calculer les valeurs dans maple :
j'obtient
0.7 n=1 (ok)
0.91 n=2
0.78 n=3
0.92 n=4
La probabilité augmente puis diminue entre 2 et 4 :/
Ou alors mon code est faux :
n:=4;
p:=0.70;
q:=1-p;
sum(n!/(k!*(n-k)!)*p^k*q^(n-k),k=ceil(n/2)..n);
Que veux dire on ignore le vote ?
N = 2 ou N= 4, vos résultats sont faux (et seront faux pour tous les N pairs, comme je l'ai déjà écrit) car vous considérez que la répartion 1-1 ou 2-2 vous permet d'avoir systématiquement la bonne réponse !
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
L'idée est que l'on exécute une action lorsque la fiabilité du vote est suffisante.
Lorsqu'il n'y a pas de vote majoritaire, ce dernier n'est pas fiable, donc on l'ignore, c'est à dire qu'on exécute aucune action.
Je ne comprends pas comment traiter le cas où n est pair
Il suffit de remplacer
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'ai remplacé par i>n/2 dans le cas pair.
On obtient :
0.7 n=1
0.49 n=2
0.78 n=3
0.65 n=4
Étrange
Cela rajoute un paramètre. À partir de quelle différence entre les deux catégories considère-t-on que le vote est fiable ?
Le cas N pair fait inclure l'égalité dans le pas fiable. Mais le cas d'une différence de 1 dans le cas N-1 n'est pas vraiment un résultat plus fiable, il n'est pas loin d'être équivalent à un tir à pile ou face.
Dans un cas pratique, on mettrait un seuil de fiabilité, une différence minimale typiquement dépendante de N (augmentant avec N).
Non, normal. Il n'y a pas de cas "non fiable" pour N impair !
Si vous conditionnez par "action faite", ce sera croissant, il me semble.
Je développe pour n=2 :
2 justes , 0.49
1 juste 1 faux, 0.42 -> pas d'action
2 faux, 0.09
S'il y a action elle est correcte dans 0.49/0.58 = 0.845, qui est bien au-dessus de 0.7
Mais c'est aussi meilleur que le 0.78 pour n=3, ce qui s'explique par l'absence de test de fiabilité dans le cas n=3. (Et je l'ai oublié en disant trop rapidement ce sera croissant dans le message précédent...)
Un vote est considéré comme fiable dès lors que la probabilité d'avoir raison est supérieur à 50 %.
Je suis d'accord avec votre calcul, mais je ne comprends toujours pas pourquoi la probabilité n'évolue pas de façon croissante
Je comprends bien, ce que vous voulez dire, mais la finalité m'échappe : en combinant le seuil de fiabilité et le fait de ne tenir compte que des cas où il y a action, il suffit de choisir N grand, de considérer que la réponse est "fiable" que s'il y a unanimité pour que le taux de réussite soit très proche de 1, ce qui me paraît très artificiel, puisque très rapidement, dans la majorité des cas, on ne fait rien, ce qui n'est pas équivalent à "prendre la bonne décision", même si je peux imaginer des circonstances où "ne rien faire" est préférable à "se tromper".
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Le fait de ne pas agir dans certains cas (égalité dans le cas pair) améliore énormément la "fiabilité" au sens de la probabilité d'avoir bien agit sachant qu'on a agit.Un vote est considéré comme fiable dès lors que la probabilité d'avoir raison est supérieur à 50 %.
Je suis d'accord avec votre calcul, mais je ne comprends toujours pas pourquoi la probabilité n'évolue pas de façon croissante
Dans le cas n=3, le nombre est trop petit pour pouvoir régler finement le test de fiabilité. Il n'y a que deux possibilités :
Possibilité 1 : On garde tout résultat, et la fiabilité conditionnelle à agir est celle calculée, 0.78
Possibilité 2 : On ne garde que les unanimités, et alors la fiabilité conditionnelle monte à 0.343/(0.343 + 0.027) = 0.927
