Bonjour à tous !

Résumé du problème

Suite à une soirée entre amis suivie d'une sortie au casino, et surtout aux discussions enfiévrées qui se sont succédées les jours suivants, j'ai voulu vérifier différents arguments pour clore la discussion de façon scientifique lors d'une prochaine soirée.

Le calcul mathématique me donne un résultat que j'ai également voulu vérifier, en modélisant sur tableur le comportement d'une roulette. Or, le résultat de la modélisation est vraiment trop différent du résultat du calcul, et pourtant il semble fiable; car appliqué sur un grand nombre d'occurences (100 fois 10.000 coups), il donne toujours sensiblement le même résultat.

J'hésite donc entre deux hypothèses :
- soit ma méthode de calcul probabiliste est mauvaise;
- soit la fonction aléatoire de l'ordinateur est vérolée (par exemple par effet de convergence de l'algorithme.)

J'ai plutôt tendance à penser que c'est moi qui me trompe, mais j'aimerai bien savoir où ! Et comment corriger le résultat.

--------------- Développement complet---------------

Le problème
Sur une roulette française, composée de 37 numéros allant de 0 à 36 (zéro étant ni pair ni impair), combien de séries consécutive de 3 coups pairs obtiendra-t'on en moyenne sur 10.000 coups ?.

"Ma" résolution
En 3 coups, la probabilité de sortir 3 nombres pairs d'affilée est de :
18/37 x 18/37 x 18/37 (soit environ 0,115).
En 4 coups, cette probabilité est de :
(18/37 x 18/37 x 18/37) x 2
En N coups, cette probabilité est de :
(18/37 x 18/37 x 18/37) x ( (N-3) +1 )
Donc pour 10.000 coups, on obtient statistiquement en moyenne :
(18/37 x 18/37 x 18/37) x 9997 = 1151 séries de 3 pairs consécutifs.

En modélisant sur tableur un tirage de 10.000 coups avec la fonction ALEA, j'obtiens un résultat plus proche de 1800 que de 1100. En renouvelant 100 fois l'expérience, j'obtiens un minimum de 1726 et un maximum de 1884, avec une moyenne (sur 1.000.000 coups donc) de 1.806. La différence avec le calcul théorique ressort donc à près de 60%, ce qui n'est pas acceptable.

J'ai voulu vérifier l'application de la fonction ALEA, et sur la feuille de calcul, j'ai donc tout recommencé, en comptabilisant désormais les occurences de chaque nombre de 0 à 37. Et là, le mystère s'épaissit : sur 10.000 coups, les résultats sont homogènes, chaque nombre sort entre 252 fois minimum et 291 fois maximum. Renouvelée elle aussi 100 fois, cette expérimentation amène la même constatation, une moyenne de tirage oscillant autour de 270 occurences sur 10.000 coups, conforme au calcul à 10% près, ce qui est ce coup-ci acceptable. Et bien entendu, ayant refait la feuille de calcul pour refaire sortir le nombre de séries en même temps que le nombre d'occurences, ce résultat confirme la moyenne précédente de 1806 puisque c'est 1804 qui s'affiche désormais.

Alors où est la vraie moyenne ? environ 1806 ou environ 1151 ? Et surtout, où est le problème ?

J'ai bien sûr tendance à écarter l'hypothèse de convergence de la fonction aléatoire, puisque le nombre d'occurences de chaque possibilité obtenu par modélisation est conforme au calcul théorique.
Il ne me reste plus qu'à envisager que c'est mon calcul probabiliste qui est faux.

Merci d'éclairer ma lanterne, ce qui me permettra d'en éclairer quelques autres...