Une suite croissante et bornée est-elle de Cauchy ?

[Seirios]

Bonsoir à tous,

Tout est dans le titre : j'aimerais savoir si une suite croissante et bornée est nécessairement de Cauchy.

C'est déjà le cas lorsque la propriété de la borne supérieure est vérifiée, mais qu'en est-il en affaiblissant les hypothèses ? Il me semble que la propriété de la borne supérieure découle de la complétude et de la propriété d'Archimède : pour la complétude, on peut toujours se ramener au complété, donc cette hypothèse n'est pas contraignant ici, il faudrait donc se placer dans un cas où la propriété d'Archimède n'est pas vérifiée, c'est-à-dire qu'il doit y avoir des "infinitésimaux", mais ce n'est pas un sujet avec lequel je suis à l'aise.

Quelqu'un pourrait-il m'en dire plus sur le sujet ?

Merci d'avance,
Seirios
-----

[Garf]

J'ai du mal à voir comment présenter le problème de façon cohérente, pour commencer. Il y a deux choses qui entrent en jeu :
* une ordre ;
* une distance.
Si on se place simplement dans ce contexte (espace métrique muni d'un ordre), il est évident que l'on peut trouver des suites monotones, bornées et qui ne soient pas de Cauchy. Par exemple, si l'on travaille sur et que l'on dit que deux entiers distincts sont toujours à distance de (distance discrète), alors la suite est croissante, bornée, et non de Cauchy.
Il me semble qu'il y a des contre-exemples un poil moins artificiels ( muni de l'ordre usuel et d'une distance -adique, je crois).

Pour avoir une discussions moins triviale, il faudrait avoir une distance et un ordre "compatibles", mais là je n'ai aucune idée de la façon de traduire cela (voire même, si c'est seulement possible de façon raisonnable).

[Seirios]

Effectivement, j'aurais dû penser à ce contre-exemple...Je vais voir si je peux préciser le cadre dans lequel on se place dans mon cas.

[Seirios]

Il me semble qu'il y a des contre-exemples un poil moins artificiels ( muni de l'ordre usuel et d'une distance -adique, je crois).

Il me semble que dans convient : elle est croissante et bornée par 1, mais n'est pas de Cauchy puisque ne tend pas vers zéro.

Pour avoir une discussions moins triviale, il faudrait avoir une distance et un ordre "compatibles", mais là je n'ai aucune idée de la façon de traduire cela (voire même, si c'est seulement possible de façon raisonnable).

Pour ce que je cherche, je ne peux pas préciser le cadre suffisament pour supprimer les deux contre-exemples cités sans rendre mon problème trivial.

Merci pour ta réponse

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

salut,

quand tu écris "croissante bornée", tu parles de borne au sens de la distance ou bien de l'ordre? (auquel cas il vaudrait mieux écrire "croissante majorée")

[Garf]

Dans ce cas (j'y avais pensé) on peut rajouter un "point à l'infini", plus grand que tout autre point de l'espace, et toute suite croissante devient majorée... D'où des contre-exemples à foison.

Il serait plus intéressant de savoir dans quels cas on peut dire qu'une suite croissante majorée est convergente. Comme cadre plus général que , il me semble que l'on peut prendre les arbres enracinés* (afin de disposer d'une relation d'ordre). Mais j'oubllie peut-être des hypothèses.


* espaces métriques uniquement géodésiques (i.e. entre deux points, il existe une unique géodésique) dans lequel on repère un point particulier, la racine . L'ordre est donné par " si est seulement si la géodésique reliant et passe par ".