Démontrer qu'une suite est croissante ...?

[inviteca8a61d2]

Salut à tous
Je suis en terminale S et je révise mon bac sur des annales de math, et là je tombe sur un exo, où je planche totalement sur la question "démontrer que la suite est strictement croissante". Pourtant j'ai toujours à peu près su faire ce genre de trucs ^^
Enfin voilà, j'espère que vous pourriez m'aider, sachant que la suite est définie par :
Uo=0 ; U(n+1)=√(3Un+4)

C'est la 2ème question, pour la première j'ai déjà prouvé par récurrence que la suite était majorée par 4.

Je vais continuer à chercher, mais j'ai à peu près tout essayé et l'état actuel de mon cerveau me permet pas beaucoup plus, donc si vous pourriez m'aider... ^^
Merci d'avance =)
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[invite55dcb7a8]

Un+1 - Un = V(3Un+4) - Un = (3Un+4-Un²)/(V(3Un+4) + Un) > 0 étant donné que (Un) est positive et majorée par 4 (tableau de signe)

[inviteca8a61d2]

Comment je sais qu'Un est strictement positive ?

[invite55dcb7a8]

Bah c'est évident. Une récurrence pourra le montrer mais bon...

Si Un est positif, donc V(3Un + 4) sera évidemment positif.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteca8a61d2]

Pas faux. Ca me fait un raisonnement super long mais c'est mieux que rien ^^
Bah décidément les suites c'et pas mon truc...
Question suivante, déterminer que la suite est convergente (facile) mais surtout déterminer sa limite.
Comment on fait déjà...?

Bon après, c'est une autre limite qu'ils demandent, celle de Vn=n²(4-Un) sachant que 4-U(n+1) ≤ ½ (4-Un)
Mais je vais pas non plus venir ici pour vous faire faire mon exo en totalité, surtout que cette question ma prof m'a dit qu'elle la trouvait très difficile, donc au pire j'abandonne.
Mais la limite de la première, ça me tue de pas savoir comment on fait >_<

[invite55dcb7a8]

Bah t'as pas appris que si une suite du type Un+1 = f(Un) converge vers l, alors l est solution de l'équation l = f(l)?
Moi je suis en TS et j'ai appris ça dès le début de l'année


En effet
lim Un = lim Un+1
=> lim Un = lim f(Un)
=> l = f(l)

[bubulle_01]

Ce n'est pas de la forme avec continue par hasard ?

[inviteca8a61d2]

Oooh naaaaaan xD
J'l'avais complètement oublié, merci beaucoup
Je vais donc de ce pas arrêter toute substance douteuse d'ici le bac, il était temps d'arrêter d'ailleurs, il parait que c'est très mauvais pour la mémoire.
Joke.
Enfin bref encore merci, et bonne chance pour ton bac toi aussi ^^

[inviteca8a61d2]

Ce n'est pas de la forme avec continue par hasard ?

Oui oui ça me revient, merci les gars ^^

[inviteca8a61d2]

Bon après, c'est une autre limite qu'ils demandent, celle de Vn=n²(4-Un) sachant que 4-U(n+1) ≤ ½ (4-Un)
Mais je vais pas non plus venir ici pour vous faire faire mon exo en totalité, surtout que cette question ma prof m'a dit qu'elle la trouvait très difficile, donc au pire j'abandonne.

Finalement, après une bonne demi-journée dessus... C'est pas spécialement urgent, je peux très bien abandonner l'exo, mais si vous avez des idées... Parce que là, j'ai rempli une feuille de brouillon d'essais inaboutis écrits en petit, parfois sur plusieurs couches (oui, un essai écrit sur un autre, très logique et surtout lisible, enfin bref on s'en fout)
Et donc voilà. Si vraiment ça vous inspire, mais je vois pas vraiment qui ça peut inspirer. Enfin bon, sur ce, bonne soirée, et encore merci pour le reste !

[invite55dcb7a8]

Un+1 = V(3Un+4)
Vn=n²(4-Un) sachant que 4-U(n+1) ≤ ½ (4-Un)

Ok je pense qu'il faut faire encore une récurrence où on prouve que
4-Un ≤ a(1/2)^n mais bon je sais pas trop jvais encore réfléchir

[inviteca8a61d2]

... C'est bien pour trouver la limite de Vn, je sais pas si j'ai bien précisé ^^

[invite55dcb7a8]

U0 = 0 => 4-U0 = 4 <= 4
U1 = V(3U0 + 4) = 2 => 4-U1 = 2 <= 2
U2 = V(3U1+4) = V10 => 4-V10 < 1
U3 = V(3U2+4) = V(3V10 + 4) => 4-U3 < 1/2

Bref on sent bien que quelque soit n

4- Un <= 2^(2-n)

Prouve le par récurrence et après tu trouveras très facilement la limite grâce au théorème des gendarmes




Je sais pas si j'ai raison ton prof dit que c'était dur pour un TS

[inviteca8a61d2]

Je comprends pas trop là... Tu parles de Un ou de Vn ?
(bon aussi j'ai un peu la tête dans le c** aujourd'hui, dimanche oblige, je peux toujours réessayer de comprendre demain ^^ )

[invite55dcb7a8]

(Un) on s'en fout de sa limite

On a 4-Un < 2^(2-n) (A PROUVER PAR RECURRENCE GRACE A L'INEGALITE)

Donc Vn = n²(4-Un) < n²*2^(2-n)

Or on sait que Vn > 0 car n² > 0 et Un < 4
D'où

0 <= Vn <= n²*2^(2-n)

Et évidemment on trouve 0 en limite à droite, donc (Vn) tend vers 0 (théorème des gendarmes)

[inviteca8a61d2]

Là je t'admire...
Mais -désolé, les suites et moi, c'est une longue histoire mais pas d'amour...- je vois pas comment tu trouve 0 pour la limite de n²*2^(2-n), parce que n² tend vers + l'infini, même si ça parait logique que 2-n en exposant l'emporte, je vois pas du tout comment le démontrer, c'est vraiment LE genre de trucs que j'arrive pas à faire...

[invite55dcb7a8]

n²*2^(2-n)
= 4n²/2^n

Or 2^n < e^n
Donc 1/2^n > e^n

On a donc

4n²/e^n < 4n²/2^n

Et lim 4n²/e^n = 0 (limite du cours lim x^n / exp(x) = 0 ) donc par domination à l'infini lim 4n²/2^n = 0

[inviteca8a61d2]

Ca a l'air de tenir debout, mais woaw quoi. Je vais me repencher dessus demain, parce que là c'est mort. Dire que la prof a dit que l'exo était "court", sachant que la moitié des questions j'ai pas demandé ici et que ça donne des raisonnements à peu près pareil en longueur ^^'...


Enfin bref merci beaucoup, bonne nuit

[bubulle_01]

Si tu poses la suite définie par tu as .
Il est aisé de montrer par récurrence alors que est inférieur au terme général de la suite géométrique de raison et de premier terme

Par suite, la limite est facilement trouvable.

[invite9a322bed]

Ce n'est pas de la forme avec continue par hasard ?

Juste une remarque :

Non seulement, il faut qu'il démontre aussi que le domaine de doit être stable par , c'est à dire doit être contractante.

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour

il faut qu'il démontre aussi que le domaine de doit être stable par , c'est à dire doit être contractante.

Non, est une application contractante si et seulement s'il existe un réel compris strictement entre 0 et 1 tel que pour tout couple (x,y), on a :

Ce n'est pas équivalent à dire que est stable par .

[invite9c956341]

Salut,
Je ne sais pas comment repondre à cette question : "Etudier la monotonie de la suite (Un) et donner sa limite"
U0=2 Un+1= (1/3*Un)+(23/27)

Sachant que la suite est convergente