[L1 MASS] Déterminant de matrice ordre n

[invite0eea0508]

Bonsoir,

Voici mon problème on a étudié les déterminant de matrices d'ordre n, mais je ne comprend rien strictement rien à la méthode a utiliser:

Par exemple on a vu
[1 n ... n n]
[n 2 n n]
[. .]
[n n n-1 n]
[n n ... n n]
après on fait Ci = Ci-Cn avec i appartient à [1,n-1]
et on obtient une matrice diagonale supérieur, or on pourrait appliquer le théorème qui dit que le déterminant est égale au produit de la partie diagonale.
Mais le prof trouve n! (-1)^(n-1)

Si quelqu'un peut essayer de m'expliquer la méthode général merci beaucoup.
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[invite899aa2b3]

Le déterminant est le produit des éléments diagonaux si la matrice est triangulaire. Dans le cas contraire ça n'a aucune raison d'être vrai.

[invite0eea0508]

Et aurais tu une idée de comment développer cette matrice ? car je ne vois pas du tout comment faire, a par avec la méthode du prof que je ne comprend pas

[invite0eea0508]

Pour préciser mon problème il se trouve:

= n *((produit de k=1 jusqu’à n-1 )-(n-k))
= n*(-1)^n-1 produit(n-k)

Je ne comprend pas comment on obtient le (-1)^n-1

[A voir en vidéo sur Futura]

[jules345]

Salut, peut être de la règle de Sarrhus ?

[invitec5eb4b89]

Bonjour,
Je pense que tu as déjà compris comment déterminer que le déterminant de ta matrice vaut

en utilisant le théorème qui dit que lorsque l'on n'effectue que des opérations sur les colonnes, rajouter à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes ne change pas le déterminant.

Ensuite, il te faut travailler sur ce produit pour le simplifier. Ça n'est pas spécialement facile à faire lorsqu'on débute, le mieux est de développer pour deviner les changements de variable appropriés. Ici, tu peux commencer par un changement de variable du genre

cela devrait te permettre d'y voir un peu plus clair.

Bon courage,
V.

[taladris]

As-tu essayé de calculer le déterminant pour des valeurs de n petites (n=2,3,4 voire plus)? Histoire de "comprendre ce qu'il se passe" avant de passer au cas général.

[ericcc]

Pour préciser mon problème il se trouve:

= n *((produit de k=1 jusqu’à n-1 )-(n-k))
= n*(-1)^n-1 produit(n-k)

Je ne comprend pas comment on obtient le (-1)^n-1

quand on fait le produit de p facteurs de la forme -X_i, on obtient (-1)^pproduit X_i

Ici on fait le produit de -(n-k) avec k variant de 1 à n-1 : -(n-1)*-(n-2)*-(n-3)......*-(n-n+1), donc (-1)^n-1*(n-1)!