classe C1 d'une fonction a 2 variables

[invite0a45097e]

Bonjour a tous.

J'ai un petit problème de maths que je n'arrive pas à résoudre.

Montrer que f : R² -> R telle que x -> sh(x²+y⁴)/(x²+y⁴) est de classe C1 sur R².

Le problème que j'ai c'est que je n'arrive pas à démontrer la continuité en (0,0). Pour moi f(x)->1 quand (x,y)->0.

J'ai essayé ca, dites moi ce que vous en pensez :

1) les équivalents bien que je ne sais pas si j'ai le droit de les utiliser avec deux variables :
f(x,y)=(e^2(x2+y4)-1)/2(e^(x2+y4))(x²+y⁴) ~ (e^2(x2+y4)-1)/2(x²+y⁴) ~ 2(x²+y⁴)/2(x²+y⁴) = 1 d'ou CQFD

2) Etant donné que la continuité de f doit être valable par tout chemin, je pose y=g(x) avec g : R->R quelconque et telle que g(x)⁴->0 quand x->0.
Donc ensuite je déroule la même suite d'équivalences que précédemment :
f(x,g(x))=(e^2(x2+g(x)4)-1)/2(e^(x2+g(x)4))(x²+g(x)⁴) ~ (e^2(x2+g(x)4)-1)/2(x²+g(x)⁴) ~ 2(x²+g(x)⁴)/2(x²+g(x)⁴) = 1. CQFD

Donc, ca m'étonnerait que ce soit bon. Je vous demande donc un petit coup de pouce svp... Merci
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[invite9315eae6]

Salut,

Si mes souvenirs sont bons, tu dois poser x=0 et tu regardes la continuité de ta fonction quand y tend vers 0. Ensuite c'est l'inverse, tu pose y=0 et tu regarde la continuité quand x tend vers 0.
Et si dans les deux cas tu trouves la continuité c'est que ta fonction est continue en (0,0)

Rq: On fait l'hypothèse des x=0 (resp. y=0) car ta fonction doit etre continue pour tout x et tout y donc tu prend le y (resp. x) qui t'arrange pour ton calcul de continuité

Pisces

[invite0a45097e]

Salut. Merci de répondre mais c'est faux.

Regarde la fonction x->xy/(x²+y²)...
Continue et égale à 0 si on prend (x,0) et (0,y) et qu'on fait tendre x puis y vers 0 comme tu l'as dit. Mais si on prend x=y on a f(x,y)=f(x,x)=1/2 qui ne tend pas vers 0 quand x tend vers 0.

[invite34b13e1b]

Salut,
tu peux faire un taylor de la fonction pour faire les choses proprement.

[A voir en vidéo sur Futura]