Suites récurrentes

invite616a69c2 · 30/04/2011, 11h54

Bonjour,

je travaille actuellement sur l'étude des suites de la forme:
$\text{[math]}$ .
J'ai trouvé deux méthodes de résolution, une par les matrices et une par le polynôme caractéristique.
Pas de problème pour la première mais pour la seconde, on part de l'équation en $\text{[math]}$ et tous les livres et sites expliquent:
"on cherche une suite géométrique de la forme $\text{[math]}$ qui vérifie cette équation."
Mon problème est: pourquoi une suite géométrique?
Après je comprend le reste du raisonnement mais cette question me tracasse.
Quelqu'un aurait-il une explication?
Merci de votre aide.

Amanda

invite371ae0af · 30/04/2011, 13h57

je sais pas si c'est ca que tu veux:
pour ta suite le polynome caractéristique est r²-ar+b=0
tu cherche les racines de ce polynomes et tu obtiens l'expression générale de Un en fonction de constante C1 et/ou C2. Pour trouver ces constantes tu utilises des valeurs particulières de ta suite (ici je pense que tu vas devoir garder les constantes)

De plus ici tu vas devoir discuter en fonction de a et b pour la valeur de ton discriminant

invite616a69c2 · 30/04/2011, 14h24

Merci pour la réponse mais j'ai fait l'étude de cas et j'ai les solutions,
ce que j'aimerais savoir c'est: pourquoi on considère une suite géométrique. En fait peut on en considérer une autre?

**thomas5701** · 30/04/2011, 18h10

Je ne sais pas si ma réponse est valable, mais on cherche une suite géométrique tout d'abord car elle vérifie l'équation. Et ensuite on écrit les solutions sous forme d'une combinaison linéaire. Ou doit donc pouvoir prouver que l'ensemble des solutions (qui est un espace vectoriel, ou affine) peut s'écrire comme combinaison linéaire de suite géo, qui forme une base de l'espace des solutions.

Pourquoi des suites géo, car ça marche et c'est simple. Il doit exister d'autre méthode, car on doit pouvoir trouver d'autres bases de solutions.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**albanxiii** · 30/04/2011, 19h24

Bonjour,

On sait que les suites géométriques sont les solutions des équations de récurrence de la forme $\text{[math]}$ (récurrence du premier ordre).

Votre relation $\text{[math]}$ de récurrence du second ordre étant linéaire, on peut penser à chercher des solutions qui sont des combinaisons linéaires de solutions du type de celles de l'équation du premier ordre.

Voyez-vous ce que je veux dire ?

**Tiky** · 30/04/2011, 20h07

Une question intéressante est de savoir pourquoi les solutions de cette équation sont uniquement des combinaisons linéaires de suites géométriques.

Démonstration :
On considère une suite $\text{[math]}$ complexe et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux complexes.

On a l'équation : $\text{[math]}$ et on pose $\text{[math]}$

On a alors clairement : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ . On s'est donc ramené à une équation linéaire d'ordre 1.

Le polynôme caractéristique de A est $\text{[math]}$ . Si on suppose que son déterminant est non-nulle, alors le polynôme est scindé à racine simple. On sait alors que A est diagonalisable (dans $\text{[math]}$ ). Soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ les deux valeurs propres de A.

$\text{[math]}$
On en déduit immédiatement que :
$\text{[math]}$ .

C'est-à-dire $\text{[math]}$
Tu en déduis que $\text{[math]}$ est une combinaison linéaire de deux suites géométriques de raison $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

**Tiky** · 30/04/2011, 21h53

Petite erreur, je parlais du discriminant et non du déterminant pour le polynôme caractéristique

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