matrice

[invitebf282e65]

Bonjour,
soit la matrice A=
1 2 0
1 1 1
-1 -2 0

Son polynôme caractéristique est P()= -(1-)²

Les valeurs propres sont =0 d'ordre 1 et =1 d'ordre 2

tr=somme des valeurs propres.
Pourquoi tr=0+1+1 et pas tr=0+1? On compte deux fois =1 comme si au total il y avait trois valeurs propres alors qu'on en a trouvé que deux?

Ensuite pour les sous espaces vectoriels propres on trouve u1=(-2,1,1) et u2=(1,0,-1).

On demande de donner P GL3(R) et D D3(R) telles que D=(P^-1) A P,
calculer P-1.

Dans mon corrigé P=
-2 1 0
1 0 0
1 -1 1

en posant u3=(0,0,1).
D'où vient u3? Pourquoi le pose-t-on?

Merci
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[invite8fabde6c]

Si tu arrive à diagonaliser ou trigonaliser la matrice, tu auras une matrice semblable qui sera diagonale ou au pire triangulaire, mais sur la diagonale tu auras chaque valeur propre comptée avec leur ordre de multiplicité. Par exemple si tu arrives à diagonaliser une matrice pour laquelle tu as une valeur propre simple a et une double b, tu auras comme espace propre une droite vectorielle associée à a et un plan vectoriel pour b. Et pour b tu trouveras une base du plan qui sera composé de vecteur propre, et comme tu en as deux dans la nouvelle matrice tu trouveras sur la diagonale deux fois b.

Et comme la trace est la même pour deux matrices semblables ...

[invite34b13e1b]

salut,
la trace d'une matrice est la somme de ses éléments diagonaux.

a priori ta matrice n'est pas diagonalisable (pas vérifié, c maple qui me l'a dit...), mais seulement trigonalisable (trigonalisable pcq son polynome caractéristique est scindé...), du coup ton prof prend 2 vecteurs propres de ta matrice qui forment une famille libre, et complète la famille par n'importe quel vecteur qui formera une base, par exemple u3.