suites de fonctions et recurrence

[invitefb99fc9d]

Bonjours a tous, voilà je suis en BTS et pendant les vacances je fais des exercices car je n'ai pas compris la methode de recurrence,
L'exercice est le suivant:

Soit (Un) la suite réelle défini par U0=0 et par la relation de récurrence Un+1= racine carré(Un+12) pour tout n appartient IN
1) Calculez Un pour 1 <= n <= 5 (donnez les résultats à 10^-5 prèsn par défaut. (Déjà fais)
2) Démontrez que, pour tt n appartenant à IN, on a Un < 4
3) Démontrer que la suite Un est strictement croissante:
4)a) Démontrons que l'on a 4 - Un < (4-Un)/4 pour tt n appartenant IN.
b) Démontrons que l'on a 4-Un < (1/4^n-1)
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[invite51d17075]

Bonjours a tous, voilà je suis en BTS et pendant les vacances je fais des exercices car je n'ai pas compris la methode de recurrence,
L'exercice est le suivant:

Soit (Un) la suite réelle défini par U0=0 et par la relation de récurrence Un+1= racine carré(Un+12) pour tout n appartient IN
1) Calculez Un pour 1 <= n <= 5 (donnez les résultats à 10^-5 prèsn par défaut. (Déjà fais)
2) Démontrez que, pour tt n appartenant à IN, on a Un < 43) Démontrer que la suite Un est strictement croissante:
4)a) Démontrons que l'on a 4 - Un < (4-Un)/4 pour tt n appartenant IN.
b) Démontrons que l'on a 4-Un < (1/4^n-1)

bonjour,
pour la 2) c'est bien un raisonnement par recurrence.
U(0)<4 donc la relation est vrai au départ.
ensuite
SI Un<4
ALORS
Un+12<16
et comme Un est une racine Un >0
donc on peut mettre Un+12 sous racine
rac(Un+12)<rac(16)=4
DONC
U(n+1)<4.
on a bien monrer que Un<4 => U(n+1)<4
donc c'est vrai pour tout n.

[invitefb99fc9d]

Merci,
cela confirme ce que je viens de trouver.
Maintenant je vais essaye de faire le reste.

[invitefb99fc9d]

Comment démontrez que la suite est strictement croissante?
Y at-il une méthode?
Et pour la 4 pareil?
Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

re,
pas obliger de le faire par recurrence.
on cherche
rac(Un+12)>Un
comme les termes sont posiitifs on peut mettre au carré
soit
Un+12>Un²
il faut donc montrer que
Un²-Un-12 <0
les racines sont faciles à trouver et ensuite on sait que
0<Un<4 , on en deduit l'inégalité.

[invite51d17075]

pour le 4)a, je pense qu'il y a une erreur dans l'énoncé !

[invitefb99fc9d]

Ok merci en faite c'est tout bête