Equation différentielle non linéaire

[invite93997d23]

Bonjour,

ça fait plus de 10 ans que j'ai quitté la prépa et mes souvenirs de mathématiques sont assez encrassés. Suite à la modélisation d'un système mécanique je tombe sur une équation différentielle du type

d²x(t) / dt² = A*t/ (B+C*x(t))

avec
A, B et C >0
x(t) fonction continue du temps, la position de mon solide.

Comment résoudre ce système ? J'ai tenté de le linéariser en essayant :
(x/x')' = (x·x"-x'²)/x'²
(1/x')' = -x"/x'²
x'² = (x-1)·x"

Mais ça ne m'avance pas beaucoup. Auriez vous une idée ? Si aucune solution analytique ne marche, je suis aussi preneur sur des méthodes numériques. J'utilise Maxima et Scilab, ça devrait suffire.

Je vous remercie par avance de l'attention que vous porterez à cette demande.
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[invite93997d23]

un petit up !

[invite93997d23]

Et si je l'écris sous cette forme ça vous évoquera peut-être quelque chose.

[invite93997d23]

si je reprend la première forme de l'équation


ou encore

et que je la dérive une nouvelle fois, ça donne




Ça me dégage le x, mais est-ce que ça m'avance ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite63e767fa]

Je pense que toutes les tentatives que vous décrivez n'avancent à rien, malheureusement.
En effet, cette équation est du genre de :
Y''Y=X
L'équation donnée d'inconnue y(x) se ramène à cette équation d'inconnue Y(X) par de simples relations linéaires entre d'une part Y et y et d'autre part X et x.
Les équations de ce genre ne se résolvent pas selon une combinaison d'un nombre fini de fonctions élémentaires. Il faudrait qu'une fonction spéciale ait été crée à cet effet et soit répertoriée.
A priori, je n'en vois pas. N'ayant pas un connaissance universelle de toutes les fonctions spéciales qui on pu être définies, je ne peux pas être affirmatif. Il faudrait faire une recherche bibliographique approfondie.
En pratique, ce genre d'équations se traite par les méthodes de calcul numériques.
Remarque : ceci vaut pour la recherche de solution générale. Néanmoins, si on s'intéresse aux solutions particulières, on en trouve aisément au moins une.