fonctions et suites

[invitedc345fc7]

Bonjour
je n'arrive pas à faire mon dm quelqu'un pourrait-il m'aider

on définit sur ]0,+oo[ f(t)=exp(-1/t) et g(t)=f(t)/t

j'ai montré que f et g peuvent etre prolongées par continuité en 0 et que les prolongements sont de classe c1 sur [0,+oo].
j'ai également construit un tableau de variation de g..

on a l'équation En: "f(t)=t/n"

1) montrer (avec l'aide de ce que j'ai déja) que En admet deux solutions l'une dans ]0,1[, noté et l'autre dabs ]1,+oo[ noté .
2) montrer que les deux suites et pour nsupérieur ou égal a 3 sont monotones et préciser le sens de variations
3)montrer qu'aucune de ces deuxsuites ne peut converger vers un réel strictement positif L, puis determiner leur limite.

pour la 1 je pense qu'il faut utiliser le théoreme des valeurs intermédiaires mais comment utiliser les infos précédentes, et je ne vois pas vraiment ce que sont les deux suites
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[invitea3eb043e]

Tu ne pourrais pas essayer de poser u=1/t et résoudre u exp(-u) = 1/n
Ca a quand même une meilleure allure.

[invitedc345fc7]

oui mais je ne peux pas utiliser mes premieres réponses ...?
par contre je peux retrouver g(t)=1/n
mais je ne sais pas comment l'utiliser

[invitea3eb043e]

Tu sais, g(t) ou u exp(-u) c'est pareil si on pose u=1/t

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedc345fc7]

Tu sais, g(t) ou u exp(-u) c'est pareil si on pose u=1/t

d'accord mais comment l'utiliser avec le tableau de variation précédent ? comment faire apparaitre 2 suites ?

[invitea3eb043e]

L'intersection de g(t) avec y=1/n se fait en 2 points si n>3
D'un côté, la fonction est croissante, ce qui signifie que si t1>t2 alors g(t1)>g(t2) et inversement.
Mais on peut dire la phrase à l'envers : si g(t1) > g(t2) alors t1>t2
On voit alors venir une suite croissante ou décroissante selon le côté où on travaille. Un petit graphique peut aider.

[invitedc345fc7]

oui je suis plutot d'accord avec ca !
désolée si j'ai du mal mais dans la question suivante on me demande de montrer que ces suites sont monotones
est ce que je peux les determiner grace au tableau ?

[invitea3eb043e]

Certainement et encore mieux en t'appuyant sur un graphique.