Suite d'intégrales

[invite8650b788]

Merci par avance de l'aide que vous pourrez m'apporter. Il s'agit d'une seconde partie d'exercice.
On pose la suite Sn = Int de 0 à pi/4 de (tan t)^n dt.
J'ai démontré la décroissance et convergence de la suite.
Je bute sur :
Soit a un nombre réel tel que 0 < a < pi/4
Montrer que l'on a 0 < Sn =< a(tan a)^n + pi/4 - a

C'est bon pour Sn > 0, je pose Sn = Int de 0 à a de (tan t)^n + Int de a à pi/4 de (tant t)^n. Mais je bloque à ce niveau pour la démonstration de l'inégalité à droite.

Merci de votre aide.
Cordialement.
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[invite42f885fe]

Bonsoir,

Découpe ton intervalle d'intégration en deux parties :
[0,a] et [0,Pi/4]

Majore tan^n sur chacun de ces intervalles et le résultat devrait tomber tout seul !

[invite8650b788]

Bonjour et merci de votre réponse.

En découpant l'intervalle en 2 parties, j'utilise la relation de Chasles pour In de 0 à a et de a à pi/4?

Sur [0;a], (tant)^n =< (tan a)^n
et sur [a;pi/4], tant =<1

C'est à ce niveau que je ne fais pas le lien avec le membre de droite.
Auriez-vous la gentillesse de me donner une piste.

Cordialement.

[invite42f885fe]

Oui relation de chasles. (une erreur s'est glissée dans mon précédent message : il faut intégrer de 0 à a et de a [et non 0] à Pi/4

Et bien tu as effectué les bonnes majorations, le résultat tombe de suite puisque 1 est constant, son intégrale entre a et Pi/4 vaut ((Pi/4)-a)*1

Et pour tan(a)^n, idem, l'intégrale vaut (a-0)*tan(a)^n

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8650b788]

Merci Ieremenko,
je réussis pour l'intervalle [a;pi/4], mais je bloque sur [0;a]

Je pars de ma majoration:
tan t =< tan a d'où,
(tan t)^n =<(tan a )^n d'où
Int de 0 à a de (tan t)^n =< Int de 0 à a de (tan a )^n.

Comment arrives tu à ce que Int de 0 à a de (tan a )^n = (a-0)*tan(a)^n?

Merci déjà pour toute ton aide, car je tourne en rond et l'on ne s'en sort qu'avec un coup de pouce.

Cordialement.

[invite8650b788]

Il faut entendre dans cette question que (tan a) est une constante?
Donc Int de 0 à a de (tan a)^n dt =
(tan a)^n*Int de 0 à a de dt =
(tan a)^n * [t] 0 - a =
a * (tan a)^n.

Je m'effondre car j'ai passé beaucoup de temps sans me rendre compte que l'on intégrait en t et donc que tan a est une constante.

Merci infiniment, car mon erreur du début était de poser l'intégrale de tan a par rapport à a.
Bien cordialement.