résolution de système

[invite371ae0af]

bonsoir,
je me demander comment résoudre des systèmes avec des paramètres
ax+y+z=1
x+ay+z=a
x+y+(2-a)z=b-1

a et b dans R


j'ai 2 méthodes: pivot de gauss ou cramer
cramer me donne des calculs très lourd donc je l'ai éliminé
cependant quand j'utilise le pivot de gauss ca devient vite compliqué(avec les paramètres à trainer pour faire le pivot plus les discussions en fonctions de leurs valeurs)

donc je me demandais s'il existait une méthode ou une astuce particulière pour résoudre ces types de systèmes

merci de votre aide
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[invite9617f995]

Bonjour,

Un moyen est de raisonner sous forme matricielle, ce qui rendparfois les calculs plus simples.

En effet ton système est équivalent à l'équation matricielle :


Ensuite, si tu peux inverser A, la solution du système est unique et est alors A^-1(1,a,b-1).
Pour savoir si tu peux inverser A et pour calculer A^-1, tu peux utiliser la comatrice, diagonaliser ta matrice ou (technique que personnellement je préfère) utiliser les polynômes annulateurs.
Lors de tes calculs, tu verras apparaître les conditions a pour que A soit inversible. Il te reste alors à traiter les cas où elle ne l'est pas.

Par contre, les calculs ne sont pas forcément plus simples (et sont en fait parfois équivalent) que le pivot de Gauss.

Bonne chance,
Silk

[invite371ae0af]

dans ce cas je vais garder le pivot de gauss

[invite57a1e779]

j'ai 2 méthodes: pivot de gauss ou cramer

Il y a également la méthode de l'inconnue auxiliaire qui consiste à utiliser momentanément un système de 4 équations à 4 inconnues plus simple que le système initial.

Ici, au vu d'une certaine symétrie des équations, j'utilise comme inconnue auxiliaire la somme , et je résous le système :



qui fournit immédiatement :



Si , les trois premières équations fournissent en fonction de , valeurs que l'on reporte dans la dernière équation pour calculer , puis .

Si , on revient au système initial que l'on résout facilement dans ce cas particulier.

[A voir en vidéo sur Futura]