Questions sur les différentielles

[invitea2257016]

Bonjour à tous!

Voila depuis quelques jours je m’intéresse à la notion de différentielle en mathématiques en profondeur. Je l'ai vaguement survolée en cours mais je voulais en savoir plus. J'ai donc fais plusieurs recherches, regardé plusieurs cours et j'aurai quelques questions s'il vous plait.

1) J'aimerai savoir dans quels cas utilisent-t-on la différentielle svp etant donné que pour determiner un point critique par exemple on utilise le gradient et non la differentielle qui est une application linéaire en un point a par exemple.

2) Ensuite on sait que la dérivée est un nombre et non une application. Alors que pourtant par abus de langage (je pense) on dit que par exemple g(x) = 2x est la dérivée de f(x) = x². Comment dans ce cas là par exemple devrions nous appelé g(x)?

3)La dérivée s'écrit aussi comme cela df/dx ce qui signifie qu'elle correspond au rapport de la différentielle de f par la différentielle de la fonction identité, mais alors j'aimerai savoir la différentielle au dénominateur de la fraction.

4)Enfin j'aimerai savoir si on peut diviser des vecteurs de dimension entre eux. Par exemple est ce qu'on peut faire (3, 0, 8)/(4,1,1)?

Merci d'avance

Cordialement
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[invitea2257016]

Pardon pour le double poste mais pour la question 3) je voulais dire:

3)La dérivée s'écrit aussi comme cela df/dx ce qui signifie qu'elle correspond au rapport de la différentielle de f par la différentielle de la fonction identité, mais alors j'aimerai savoir la différentielle au dénominateur de la fraction correspond à la différentielle en quelle point dans ce cas la?

Merci

[invite63e767fa]

Cette question est ambigue car elle ne précise pas dans quel contexte elle se situe (les pré-requis,...). Il semble qu'il y ait un mélange entre des notions mathématiques modernes et anciennes (les anciennes étant celles couramment usitées par les Physiciens).
Cela peut donner lieu à des controverses interminables selon le niveau et la fàçon de présenter les choses. Si j'ai un conseil à donner, c'est de se documenter sur l'évolution historique de ces notions de différentielles, dérivées, intégrales etc.
Une recherche sur la toile devrait déjà vous apporter des réponses (ne serait-ce que Wikipedia...). Accessoirement, l'article de vulgarisation "une querelle des Anciens et des Modernes", (mais c'est probablement trop simpliste), par le lien :
http://www.scribd.com/JJacquelin/documents

[invitea2257016]

Bon jour,

Merci pour votre réponse. J'ai déjà fais toutes ces recherches et ce sont celles - ci qui m'ont amenées à poser ces questions.

Donc existe-t-il une réponse a chacune de mes questions svp, si oui lesquelles?

Sinon pour la question 3) je me suis encore trompé, je voulais dire:
"3)La dérivée s'écrit aussi comme cela df/dx ce qui signifie qu'elle correspond au rapport de la différentielle de f par la différentielle de la fonction identité, mais alors j'aimerai savoir la différentielle de la fonction f au numérateur de la fraction correspond à la différentielle en quelle point dans ce cas la?"

Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef80e7823]

bonjour,
je pense qu'on différentie les fonctions à plusieurs variables comme dans le cas de la thermodynamique et en dérive les fonctions à une variable.
merci

[KerLannais]

Le gradient et la différentielle sont grosso modo la même chose et on peut aussi bien utiliser la différentielle que le gradient pour trouver les points critiques puisqu'ils s'annulent exactement au même moment. La relation entre ces deux notions est que de façon général (c'est un théorème de Riesz) toute forme linéaire peut être vue comme le fait de prendre un produit scalaire avec un certain vecteur. On peut facilement passer du vecteur à l'application et inversement. L'utilisation du gradient peut être plus agréable (ça dépend des goûts de chacun) et il a une signification géométrique et physique intéressante. Par contre on ne peut définir le gradient que pour des fonctions à valeurs scalaires (Encore que certains généralisent la notion de gradient pour des fonctions à valeurs vectorielles mais il ne s'agit plus d'un vecteur et dans ce cas il ne faut plus utiliser de produit scalaire mais un produit tensoriel contracté) mais ça n'a pas toujours un intérêt.

Dans le cas des fonction d'une variable à valeur scalaire, la dérivée correspond exactement au gradient et la différentielle est l'application linéaire qui à associe . Ce n'est pas un abus puisqu'on fait effectivement la distinction entre dérivée et différentielle, ce sont d'ailleurs deux mots différents et personne n'a dit qu'ils étaient synonymes (du moins dans un bon cours sur le calcul différentiel).

pour l'écriture sous forme d'un quotient il y a effectivement plusieurs points de vue. En général, même si on définit df et dx indépendamment, on peut considérer le quotient comme une notation globale et non comme une opération. Ce qui n'empêche pas de passer d'une écriture en forme différentielle à une écriture à l'aide de simples fonction. Ainsi la "division" par dx est correcte. On a par exemple

ou encore

Les notation sont définies de telle façon que ces équivalences sont vraies mais en réaité on ne divise pas de chaque côté par dx même si visuellement c'est tout comme (les notations étant justement choisies pour) on change la nature des objets. On avait une égalité entre différentielles et on passe à une égalité entre fonction. Dans ce cas

ne signifie pas la division de df par dx (et le df et le dx à l'intérieur de cette notation ne renvoient pas à ces objets) mais la notation globale correspont à la dérivée de f en x.

J'avoue que je ne sait pas pas s'il y a une définition du quotient de deux formes différentielles (mais ça ne m'étonnerait pas) mais par contre on peut associer à une différentielle une mesure (dans le cadre de l'intégration de Lebesgue) et définir le quotient de deux mesures (cf théorème de Radon-Nikodym). C'est à mon sens ce qu'il y a de plus proche de la vision des physiciens. Pour les physiciens les dx, dt dv et ... sont des infiniments petit qui peuvent avoir des dimensions (élément de courbe, de surface ou de volume) et peuvent être vu comme la mesure d'une longueur (aire, volume, température dans une volume, charge contenue dans un volume, sur une surface ... ) infiniment petite et le rapport de ces quantités correspond alors au jacobien du changement de variable. Par exemple si en physique on a deux variables x et y reliés par la relation y=f(x), dx est la longueur d'un segment infiniment petit sur l'axe des x entre x et x+dx et dy est la longueur du même segment correspondant pour y (après l'application de la fonction f) c'est donc
dy=f(x+dx)-f(x)=f'(x)dx
(d'après la formule de Taylor et sachant que dx est un infiniment petit (intuitivement au sens des physiciens) la dernière égalité dans ce qui précède est exacte)
dès lors que ce sont des longueurs (quand bien même elles sont infiniment petites) le quotient a un sens. Il s'agit bien du jacobien dans le changement de variable puisque

f'(x) est alors la densité de la mesure dy par rapport à la mesure dx et

Pour des élément surfacique on ne tombe pas sur la différentielle de la fonction de changement de variable (la jacobienne) mais sur le jacobien qui est le déterminant de cette même différentielle de sorte que le quotient de deux aires infiniment petites donne un scalaire. Pour une fonction S(x,y) on aurait tendance à noter

il faut faire attention si on veut donner un sens mathématique, on peut considérer que dx et dy sont des mesures (et donc dxdy est un produit de mesures) ou bien si on veut considérer des formes différentielles c'est alors un produit tensoriel et par une dérivée seconde il vaut donc mieux noter

pour éviter les confusions.

[invitea2257016]

bonjour,
je pense qu'on différentie les fonctions à plusieurs variables comme dans le cas de la thermodynamique et en dérive les fonctions à une variable.
merci

Merci coco, mais ca c'est la base je l'avais bien compris ^^.

Sinon merci beaucoup pour cette réponse KerLannais!! C'est vraiment complet je te remercie vraiment d'avoir pris ton temps pour m'expliquer tout ca.
Par contre je n'ai pas tout compris sur la fin quand tu me parles de jacobien et d’éléments surfaciques, mais je ne pense pas que ca soit le plus important dans tout ca, quoique je prendrais du temps pour le comprendre quand j'aurai du temps justement lol.

Alors pour la question 3) avant que tu me répondes j'avais cru comprendre qu'en gros pour reprendre mon exemple comme df est la différentielle de f(x) = x², df correspond a la différentielle en n'importe quel point de f, c'est à dire en tout x. On a donc df(h) = 2x.h ou h est une variation infinitésimale de x, c'est à dire dx. Ainsi qui est bien la dérivée de x² et par abus de langage ou substitution on remplace dx par x car x est infinitésimale dans la différentielle. C'est ca? Si c'est cela ca confirme ce que j'avais compris à savoir que la dérivée est le rapport de deux différentielles (celle de la fonction et celle de l'identité).

Sinon pour la question 4) bien entendu je ne parlais pas de vecteurs au sens géométrique mais de vecteurs au sens tout points à n dimension d'un espace vectorielle.

Et en fait j'avais posé cette question pour savoir pourquoi on ne pouvait pas appliquer la définition exacte de la dérivée à des fonction et vecteurs de n dimensions, par exemple je voulais savoir si l'on pouvait faire ca:



Mais il semble qu'on ne peut pas sinon la dérivée existerait pour les fonctions allant de vers