Distribution d'une chaine de Markov

[invitef6b2bc45]

Bonjour,

Je me déplace selon une chaine de Markov dans avec pour noyau de transition une loi normale dont l'écart-type diminue avec les transitions.
Plus formellement, je pense qu'on écrirait





est le nombre d'itérations (fixe)



J'aimerais calculer l'espérance mathématique de . D'après quelques tests sous matlab, cela ressemble sans trop de surprise à une gaussienne autour de l'origine, mais j'aimerais pouvoir calculer sa variance analytiquement.
Quelqu'un sait-il comment faire ?
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[invitef6b2bc45]

Pardon ce n'est pas l'espérance mathématique que je recherche, mais bien la distribution .

Le bouton pour éditer mon premier message a disparu ?!

[invitef17c7c8d]

Je raisonnerai de la façon suivante:
La probabilité de transition s'écrit:
et .

La population relative est

On a donc

Si ces transitions sont indépendante de x, on a

.

En développant en série de Taylor jusqu'au 2eme ordre:
.

On retrouve ainsi l'équation de diffusion et l'on voit que le coefficient de diffusion est égal au produit de la probabilité par le carré de la longueur du saut de la probabilité.

[invitea07f6506]

Si les écart-types et ne dépendent pas de , je me trompe, ou c'est une bête somme de variables aléatoires gaussiennes indépendantes ?

S'ils dépendent de , dans le cas général, c'est facile de trouver des situations où la distribution peut être non gaussienne (bon, ça reste contraint par le fait qu'on regarde une martingale, mais à part ça...).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef6b2bc45]

Merci à vous deux pour vos réponses,

Lionelod > J'essaie de comprendre ta proposition, mais je n'y suis pas encore ^^

Garf > Oui bien sûr et sont des constantes indépendantes de x. Le problème est peut-être très simple, tu as une idée ?

Si vous voulez un peu plus d'explications, en voici :
Je cherche à maximiser une fonction . J'utilise un algorithme de recuit simulé dont les différentes propositions sont les étapes de cette chaine.
et sont des constantes permettant d'avoir une recherche plus large aux premières itérations, puis de l'affiner lors de la recherche du maximum précis à la fin.
Cela fonctionne très bien !

En fait j'aimerais connaitre cette distribution en fonction des pour définir une zone de recherche optimum en fonction de l'erreur d'estimation au départ. Ceci en supposant que toutes les propositions sont acceptées par le recuit simulé, ce qui n'est pas vrai bien sûr, mais j'aurais déjà une bonne base de calcul.