cos z

[invite23926fb8]

bonjour
j'ai une petite question
est ce que la fonction cos(z) avec z un complexe est bornée.
j'ai essayer d'utiliser les formule d'euler et la fonction cosh mais 'ai pas réussit à trouver le résutat.
merci.
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[Tiky]

Non la fonction cosinus complexe n'est pas bornée sur . Il suffit de considérer la suite .

Tu as

Donc

[invite371ae0af]

pourtant si je pose z=a+ib avec (a,b) dans R²
cosz=cos(a+ib)=cos(a)cos(ib)-sin(a)sin(ib)=+ ou - sina car ib est un imaginaire pur
et la par définition du sinus je trouve que cosz est bornée. Où est mon erreur??

[Tiky]

Le sinus complexe n'est pas non plus bornée. D'ailleurs :
et
Donc

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

Et toute fonction entière (holomorphe sur C) bornée est constante.
Le cosinus n'étant pas constant, il n'est pas borné.

[invite14e03d2a]

pourtant si je pose z=a+ib avec (a,b) dans R²
cosz=cos(a+ib)=cos(a)cos(ib)-sin(a)sin(ib)=+ ou - sina car ib est un imaginaire pur

Tu confond cos(ib) avec cos(arg(ib)) (qui vaut bien 0 si b est réel).