continuité d'une fonction

invite0fd5e1c6 · 22/05/2011, 14h25

Bonjour,

Dans cet exo je vais montrer f non différentielle en (0,0), mais je n'ai pas trouvé la méthode pour faire ça, pourrait me diriger un peu ?

Merci d'avance.

invite899aa2b3 · 22/05/2011, 15h40

Le titre indique "continuité d'une fonction" mais le message parle de différentiabilité. Sinon, on peut montrer que la fonction n'est pas continue en $\text{[math]}$ .

invite0fd5e1c6 · 22/05/2011, 15h43

Desolé pour le titre

oui en fait il s'agit de différentiabilité

invite371ae0af · 22/05/2011, 15h50

si tu montres qu'elle n'est pas continue en (0,0) tu montres qu'elle n'est pas différentiable en ce point
pour montrer la non continuité tu peux passer en coordonnées polaires en posant:
x1=rcosa et x2=rsina
puis passer à la limite et tu remarques que la limite est différente de f(0,0)

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite0fd5e1c6 · 22/05/2011, 15h55

si tu montres qu'elle n'est pas continue en (0,0) tu montres qu'elle n'est pas différentiable en ce point

Il semble évident comme ça mais par hasard j'ai vu un document : http://www.providence.edu/mcs/rbg/ca...Continuity.pdf
Et il me trouble! Meme si f n'est pas continue f peut être différentielle considérant plusieurs variables

invite371ae0af · 22/05/2011, 16h05

dans la conclusion ils disent que la fonction n'est pas différentiable parce que la dérivée partielle première n'est pas continue

invite371ae0af · 22/05/2011, 16h09

je vient de m'apercevoir que ma méthode ne marche pas (coordonnées polaires)
essaye de te ramener en une variable en posant x=y
ca devient x²/(2x²)=1/2 quand x tend vers 0, et tu vois que c'est différent de f(0,0) donc la fonction n'est pas continue en ce point

invite0fd5e1c6 · 22/05/2011, 16h18

Je n'ai pas compris

x1=rcosa et x2=rsina
puis passer à la limite et tu remarques que la limite est différente de f(0,0)

J'ai fait calcul et j'ai obtenu f=1/2 sin2a, mais lorsque a tend vers 0 f aussi vers 0 et c'est continue quand meme ??

invite0fd5e1c6 · 22/05/2011, 16h25

Envoyé par 369

je vient de m'apercevoir que ma méthode ne marche pas (coordonnées polaires)
essaye de te ramener en une variable en posant x=y
ca devient x²/(2x²)=1/2 quand x tend vers 0, et tu vois que c'est différent de f(0,0) donc la fonction n'est pas continue en ce point

Ouais c'est plus facile, pourtant on n'a pas le droit à dire c'est pas différentiable même si il n'est pas continue (comme le document)

**Tiky** · 22/05/2011, 16h30

Si f n'est pas continue en $\text{[math]}$ alors f n'est pas différentiable en $\text{[math]}$ , à point c'est tout.

Démonstration :
Soit f une application différentiable en $\text{[math]}$ . Alors :
$\text{[math]}$ où L est une application linéaire continue.

Donc $\text{[math]}$

invite0fd5e1c6 · 22/05/2011, 16h33

Envoyé par Tiky

Si f n'est pas continue en $\text{[math]}$ alors f n'est pas différentiable en $\text{[math]}$ , à point c'est tout.

Démonstration :
Soit f une application différentiable en $\text{[math]}$ . Alors :
$\text{[math]}$ où L est une application linéaire continue.

Donc $\text{[math]}$

Merci, mais ..de quoi parle le document dessus

Des erreurs?

**Tiky** · 22/05/2011, 16h34

Dans ton document, il te dit que l'existence des dérivées partielles n'implique pas la continuité de la fonction, mais l'existence de dérivées partielles n'implique pas la différentiabilité de la fonction. Il n'y a aucune ambigüité. En revanche, sauf mauvaise traduction, la phrase suivante est fausse :

This function is not differentiable because the first partial derivatives are not continuous.

On peut seulement dire que la fonction n'est pas $\text{[math]}$ mais elle peut être différentiable, de différentielle discontinue.

invite0fd5e1c6 · 22/05/2011, 16h39

Merci beaucoup, j'ai tout compris j'ai confondu "l'existence de dérivées partielles" et "l'existence de dérivées partielles", ils sont pas meme choses sont-ils...

Une petite precision, comment peut-on montrer des derives partielles d'une fonction existent? Sous quelles conditions?

**Tiky** · 22/05/2011, 16h44

Tu fais comme pour les fonctions d'une variable. Tu gèles les autres variables. Si tu considères l'application $\text{[math]}$ . Tu peux étudier la dérivabilité de la fonction partielle $\text{[math]}$

invite0fd5e1c6 · 22/05/2011, 17h23

Envoyé par Tiky

Tu fais comme pour les fonctions d'une variable. Tu gèles les autres variables. Si tu considères l'application $\text{[math]}$ . Tu peux étudier la dérivabilité de la fonction partielle $\text{[math]}$

Merci Tiky.

invitec23a21bd · 22/05/2011, 20h18

passer à la limite et tu remarques que la limite est différente de f(0,0)

continuité d'une fonction