Bonjour,
Déterminez des équations paramétriques de la droite tangente a la courbe d'intersection du paraboloïde z=x^2+y^2 et de l'ellipsoïde
4x^2+y^2+z^2=9 au point (-1,1,2).
Ce que jai fait:
z-x^2=y^2
3x^2+z+z^2=9
(substitution)
Apres sa jai aucune idee comment faire. Quelque aurais la gentillesse de me l'expliquer SVP.
*Cette exercice a rapport avec le gradient*
Merci
Bonjour,
La tangente à la courbe en question appartiendra à la fois au plan tangent au paraboloïde (au point machin chose) et au plan tangent à l'ellipsoïde (au point ...) c'est l'intersection de ces deux plans. En effet, la tangente à une courbe sur une surface en un certain point est toujours contenue dans le plan tangent à cette surface en ce point. Il est donc facile de trouver l'équation de la droite dès qu'on a l'équation de chacun des plans. L'équation du plan tangent à une surface définie par la relation
s'exprime directement à partir du gradient demais c'est un résultat que tu as très certainement dans un de tes cours: c'est très simple, la surface est une "surface de niveau" (ligne de niveau mais en dimension supérieure) de la fonction
Ensuite pour obtenir une équation paramétrique d'une droite à partir de son équation cartésienne il faut juste déterminer un vecteur directeur de la droite.
*n sait que le gradient est toujours orthogonal aux lignes de niveau, c'est donc un vecteur normal au plan tangent*
Bon cincèrement j'ai rien compris. mais cette phrase ma beaucoup aider.
Je vais te dire ce que j'ai fait et dit moi si c bon
f(x,y,z)=x^2+y^2-1 ; g(x,y,z)=4*x^2+y^2+z^2-9
grad f(x,y,z) «2x,2y,-1» ; grad g(x,y,z) «8x,2y,2z»
grad f(-1,1,2) «-2,2,-1» ; grad g(-1,1,2) «-8,2,4»
grad f(-1,1,2) x grad (-1,1,2) = «10,16,12»
(x: le produit vectorielle)
donc:
x=-1+10t
y=1+16t
z=2+12t
Si c pas sa ta methdo tu peux mepliquer la tienne svp.
Cette méthode marche très bien en effet et la réponse finale est correcte.
