Reduction de coniques

[invitecbade190]

Bonjour à tous,

J'ai une question de cours que je n'arrive pas à comprendre sur les coniques de la forme générale :

avec : : partie quadratique du conique.
La matrice associée à cette forme quadratique est de la forme :

C'est une matrice symétrique, donc diagonalisable donc admet une réduction de la forme :

avec : la matrice diagonale qui contient les valeurs propres du polynôme caractéristique de .
Donc, la matrice de passage est orthogonale.
Pourquoi la réduction de est de la forme :

Autrement dit, pourquoi figure fois dans l'expression de ???
Si ce n'est pas le cas, connaissez vous un contre exemple "important", c'est à dire, tel que est une matrice à coefficients tous non nuls.
Merci pour votre aide.
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[KerLannais]

Bonjour,

Si tu prends je vois mal comment tu pourrais obtenir une réduction de cette forme. Tu as peut être oublié l'hypothèse que soit soit inversible ?

[invitecbade190]

Bonjour,

Si tu prends je vois mal comment tu pourrais obtenir une réduction de cette forme. Tu as peut être oublié l'hypothèse que soit soit inversible ?

oui, est inversible bien sûr ... sinon, on peut pas aller plus loin ...
Merci d'avance.

Edit : Tu peux remarquer que pour le cas de ton exemple ( matrice non inversible ) ... pas besoin de faire la réduction de la forme quadratique, mais passer directement à la réduction conique ...

[KerLannais]

J'ai une autre question. Est-ce que les quantités que tu notes toutes les deux sont effectivement égales ou égales à une constante multiplicative près ?

Si elles sont effectivement égales alors en prenant dans chaque on constate que

ce qui donne soit
mais dans ce cas on doit avoir
ce qui n'est donc pas le cas tout le temps, soit

Prenons par exemple



On aurait alors


Il est clair que l'on ne peut pas avoir

sinon le membre de droite serait constant égal à 1 or le membre de gauche prend d'autres valeurs pour certaines valeurs de et de . On a donc soit

soit

(ou les deux)
Supposons que

alors on peut prendre dans

avec

Dans le membre de droite on a alors et à gauche on a

(j'ai soustrait le 1 dans chacun des membres)
On a donc pour tout

en particulier on doit avoir

et

soit encore

ceci étant impossible soit je viens de trouver un contre-exemple, soit dans ta question les deux quantités que tu notes avec la même lettre sont en fait différentes. Pourrais-tu préciser ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

J'ai une autre question. Est-ce que les quantités que tu notes toutes les deux sont effectivement égales ou égales à une constante multiplicative près ?

Oui, elles sont égales à une constante multiplicative près.
Merci pour ton aide.

[KerLannais]

Si je prends par exemple

Comment fais-tu pour la réduire sous la bonne forme?

[invitecbade190]

Tu es sûr que ça donne une expression de la forme :

Parce que, moi, je la reduis comme ça :

avec :
une matrice ortho - diagonalisable ( la matrice associé à la forme quadratique ), donc admet une matrice de passage orthogonale telle que :

Par conséquent :
...

[KerLannais]

oui et ... je ne vois toujours pas la apparaître Ne peux tu pas pour l'exemple explicite que je t'ai donné, donner les valeurs de
?
Ca m'aiderait d'avoir un exemple.

[KerLannais]

Bon il est vrai, ce ne sont pas des valeurs sympatiques. Voici un autre exemple où le calcul se fait mieux:



J'ai essayé d'inspirer du début de méthode que tu as donné mais après je ne vois pas comment faire. Peut tu détailler sur cet exemple ?