Z/nZ : éléments inversibles et groupe cyclique.

[fred3142]

Bonjour,

J'ai un livre dans lequel il est écrit "les éléments inversibles de l'anneau sont les générateurs du groupe " (groupe des éléments inversibles).
Je pense que c'est une erreur de frappe et que l'auteur a voulu dire : "les éléments inversibles de l'anneau sont les générateurs du groupe ".
Etes-vous d'accord?

Ca m'a fait penser que le groupe des éléments inversibles n'est pas forcément cyclique (sinon serait isomorphe à , et on sent bien que ce n'est pas toujours le cas, enfin en tout cas j'ai l'impression ).
J'ai trouvé qu'une condition nécessaire pour que ce groupe soit cyclique était qu'il existe des entiers strictement positifs a et k tel que a<n soit premier avec n et n divise . Mais j'ai du mal à aller plus loin.
En savez-vous plus là dessus (condition pour que le groupe des inversibles soit cyclique)?

Merci.
-----

[leon1789]

"les éléments inversibles de l'anneau sont les générateurs du groupe ".
Etes-vous d'accord?

oui

En savez-vous plus là dessus (condition pour que le groupe des inversibles soit cyclique)?

il me semble que si n se décompose en produit de premiers , alors
le groupe des inversibles de Z/nZ est cyclique si et seulement si, pour tous i,j distincts, est premier avec .

[invite4ef352d8]

Salut !

oui c'est en effet une faute de frape : les element inversible de l'anneau sont les elements du groupe des inversible et les éléments générateur du groupe additif...

sinon (Z/nZ)* est cyclique si et seulement si n est de la forme 2,4, p^k, 2*p^k, pour p un nombre premier différent de 2.


c'est un résultat pas completement trivial, qui demande un peu de travail, mais pas extrémement difficile non plus (je me rappelle avoir eu un DM en math spé qui prouvai ceci... )

[invite4ef352d8]

leon1789 à presque raison, mais il a oublié qu'il fallait traiter le cas p=2 à part, en effet on a

(Z/2^kZ)* qui est isomorphe à (Z/2Z)*(Z/2Z)^(k-2) alors que pour p différent de 2, c'est un groupe cyclique.

à partir du moment ou on suppose les pi différent de 2, ce qu'il dit implique ce que moi je dis puisque pi(pi-1) et pj(pj-1) ont automatiquement 2 comme facteur commun...


(ca vient du fait que dans Z/8Z tout les element inversible on pour caré 1, et c'est en gros à cause de sa que tout est toujours plus compliqué en analyse 2-adique que en analyse p-adique ^^ )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec3143530]

Je suppose que l'assertion (Z/nZ, X) est un groupe multiplicatif cyclique si n est de la forme p^k vient du fait que l'on considère comme isomorphe à la K-Algèbre quotient Fp[X] / (insérer ici un polynôme de degré k irréductible dans Fp[X]

[invite4ef352d8]

euh non pas du tous...

Z/p^kZ est un anneau (non intégre) de cractéristique p^k. son groupe des élèments inversible a (p-1).p^(k-1) elements.

Fp[X] /P est un corps de caractéristique p. son groupe multiplicatif est bien cylique (c'est un fait général sur les corps fini) mais il est de cardinal p^k-1.

donc il ne sont pas isomorphe...


le fait que (Z/p^kZ)* est cyclique est justement la partie un peu subtile du résultat que j'ai énoncé plus haut, tout le reste (enfin à part le résultat analogue quand p=2) est à peu près trivial.
de mémoire on peut le prouver soit pas des petites manipulation arithmétique élémentaire mais astucieuse dont je ne me rappelle plus, soit par de la grosse machinerie (plus conceptuel) d'analyse p-adique (le log d'iwasawa essentiellement)

[invitec3143530]

euh non pas du tous...

Z/p^kZ est un anneau (non intégre) de cractéristique p^k. son groupe des élèments inversible a (p-1).p^(k-1) elements.

Je croyais que la caractéristique d'un corps était forcément un nombre premier donc p

[leon1789]

leon1789 à presque raison, mais il a oublié qu'il fallait traiter le cas p=2 à part, en effet on a

(Z/2^kZ)* qui est isomorphe à (Z/2Z)*(Z/2Z)^(k-2) alors que pour p différent de 2, c'est un groupe cyclique.

ha oui, exact !

[leon1789]

Je croyais que la caractéristique d'un corps était forcément un nombre premier donc p

oui, mais Z/p^kZ n'est pas un corps lorsque k>1...

[invitec3143530]

En effet, c'est pas un corps, c'est grave que je fasse encore de tels erreurs à quelque jours de mes examens

[fred3142]

Salut !

oui c'est en effet une faute de frape : les element inversible de l'anneau sont les elements du groupe des inversible et les éléments générateur du groupe additif...

sinon (Z/nZ)* est cyclique si et seulement si n est de la forme 2,4, p^k, 2*p^k, pour p un nombre premier différent de 2.


c'est un résultat pas completement trivial, qui demande un peu de travail, mais pas extrémement difficile non plus (je me rappelle avoir eu un DM en math spé qui prouvai ceci... )

OK merci bien, je vais y réfléchir quand j'aurais un peu de temps.
Bonne continuation!