Bonjour!
On me donne l'équation différentielle xy'-y=x²+3.
On me demande de déterminer les valeurs a, b et c pour que la solution particulière soit de la forme ax²+bx+c
En faisant les calculs, je trouve a=1 et c=-3, mais les termes en b s'annulent????
On me demande ensuite la solution de cette équation.
Je cherche donc la solution sans second membre soit xy'-y=0.
Et là, je sèche!!! Merci pour votre aide...
salut,
xy'-y=0
xy'=y
y'=y/x
y=exp(y/x)
en effet y'=(1/x)*exp(y/x)
et donc xy'=y
Non ! Les solutions de xy'=y sont les fonctions linéaires : y=Cx avec C constante.Envoyé par lawliet yagami
Es-tu certain de ton résultat? y est une fonction de x : y=exp(y/x)
si on pose u=y/x, u'=(y'x-y)/x² donc y'=(y'x-y)/x²*exp(y/x) , non???
j'ai pas fait attention que les variables étaient liées
ESSM
xy'-y=0 ssi y'/y=1/x ssi y(x)=Kexp(x) K dans R
EASM:
xy'-y=x²+3
ta solution particulière y0 sera de la forme ax²+bx+c
donc il faut identifier a,b et c
x(2ax+b)-ax²-bx-c=x²+3
2ax²+bx-ax²-bx-c=x²+3
ax²-c=x²+3
donc a=1 et c=-3 b=0
donc la solution est y(x)=Kexp(x)+x²-3
y'(x) devient -1/x² *exp(1/x)
et du coup ça marche plus
il faut un truc de la forme k exp(lnx) soit kx comme disait God's Breath plus haut
je me suis trompé la solution générale est y(x)=Kx
tu peux d'ailleurs vérifier que la solution
y(x)=Kx+x²-3 vérifie bien ton équation
en faite j'ai oublier de simplifier dans mon message d'avant:
xy'-y=0 ssi y'/y=1/x ssi lny=lnx+C ssi y(x)=Kx K dans R
En effet, c'est bien ça! avec la condition initiale f(-1)=0 on a au final
y=x²-2x+3 (confirmé par Maple!)
Merci pour votre aide!
Salut tout le monde, ca fait plaisir d’aider les autres à résoudre les problèmes mathématiques.
Tu résous premièrement l'équation sans seconde membre:
xY'-Y=0 " Y(x); est la solution homogène " ce qui donne : Y'/Y=1/x: ln(Y)=ln(x)+c: Y(x)=c'x; c’est une constante pour la solution homogène "Y(x)"
mais pour l'équation avec seconde membre c' devienne une fonction " variable " on la note : C(x)
ce qui donne : y(x)=C(x)*x=C.x: on note *ou . : Signe de multiplication: ce qui fait : y'=C'.x+C
on substitue la dernière formule dans l'équation différentielle " à résoudre" comme cela:
x(C'.x+C)-C.x=x2+3
ce qui donne :C'.x2=x2+3
Or: C(x)=x-3/x+a : a nombre réel:
ce qui donne enfin : y(x)=x2-3+ax
dsl pour l'erreur de signe
