matrices orthogonales diagonalisables

[art17]

bonsoir à tous
Je cherche à démontrer que toutes les matrices de sont diagonalisables sur mais je ne vois pas trop comment partir quelqu'un pourrait il me donner une piste merci
-----

[Tiky]

Bonsoir,

Cette assertion est fausse. Pour simplifier on va chercher un contre-exemple dans .

La matrice suivante appartient à cet ensemble :

Elle n'est pas diagonalisable dans . En effet son polynôme caractéristique est :

Or

Donc .

[silk78]

Bonsoir,

@Tiky : Le polynôme caractéristique de A est il me semble P_A(X)=(1-X)(1+X²), donc le spectre de A est {1,i,-i} et A est diagonalisable.

D'ailleurs, si je ne me trompe pas l'énoncé de art17 est un cas particulier du théorème spectral.

Un moyen de le prouver doit être de montrer que si un sev F de Cⁿ est stable par une matrice orthogonale M alors l’orthogonal de F l'est aussi, puis de procéder par récurrence sur n.
On doit d'ailleurs montrer par la même occasion qu'il existe une base de vecteur propre.

Silk

[Tiky]

Oui tu as raison, une erreur de calcul ... Merci !

[A voir en vidéo sur Futura]

[art17]

merci pour vos réponse mais un point de cours doit m'échaper car je ne vois pas pourquoi

montrer que si un sev F de Cⁿ est stable par une matrice orthogonale M alors l’orthogonal de F l'est aussi, puis de procéder par récurrence sur n.
Silk

permet de montrer que l'endomorphisme est diagonalisable c'est sans doute gros comme une maison mais je ne vois pas

[silk78]

Le début de la preuve :

Soit U une matrice orthogonale et λ une valeur propre de U.
Que peut-on dire de Ker(U-λI_n) ?

Silk

[Tiky]

Il y a en effet un énoncé très général. Si une matrice commute avec son adjoint alors elle est diagonalisable dans une base orthonormée dans C.

[art17]

Le début de la preuve :

Soit U une matrice orthogonale et λ une valeur propre de U.
Que peut-on dire de Ker(U-λI_n) ?

Silk

je ne comprends vraiment pas ton idéé Ker(U-λI_n) est U stable donc son orthogonal aussi donc Im(^tU-λI_n) est U stable ... je suis perdu

[silk78]

La piste suivante :

E_λ=Ker(U-λI_n) est stable par U, donc comme tu l'as dit l'orthogonal de E_λ, que l'on notera F_λ est stable par U.

On a une somme directe orthogonale : C^N=E_λ+F_λ.
Soit B une base orthonormée adaptée à cette somme directe (il est possible d'en trouver une car E_λ et F_λ sont orthogonaux).

Quelle forme a la matrice U dans B ?

Silk

[art17]

je pense avoir trouver une autre démonstration de la diagonalisabilité des matrices orthogonales en effet ^tA*A=A*^tA=I_n donc ^tA*A²*^tA=I_n donc A² est diagonalisable or ker(A)=ker(A²)=0 donc A² diagonalisable implique que A est diagonalisable. Donc on a le résultat.
Mais pour autant j'aimerais bien comprendre ton idée silk78 mais je ne vois pas très bien ce que tu vas montrer... que E est la somme directe des espaces propres? quelle récurrence cherche tu à me faire faire?

[silk78]

Hmm, tu as ^tA*A²*^tA=I_n. Le problème c'est que tu n'as pas quelque chose de la forme : U*A²*U^-1=I_n (il faudrait une formule du genre A*A²*^tA=I_n), donc tu ne peux pas conclure que A² est diagonalisable.


Pour la récurrence : je te propose une récurrence forte sur la dimension n de ta matrice.
Le principe est en fait de se ramener à partir d'une matrice orthogonale de dimension n à une matrice orthogonal de dimension inférieure à n, qui elle va être diagonalisable (par récurrence).

Je repose donc ma question de la dernière fois :
On a Cⁿ=E_λ+F_λ (où la somme est directe et orthogonale).
Soit B une base orthonormée adaptée à cette somme directe (il est possible d'en trouver une car Eλ et Fλ sont orthogonaux).
Quelle forme a la matrice U dans B ?

Silk

[art17]

Hmm, tu as ^tA*A²*^tA=I_n. Le problème c'est que tu n'as pas quelque chose de la forme : U*A²*U^-1=I_n (il faudrait une formule du genre A*A²*^tA=I_n), donc tu ne peux pas conclure que A² est diagonalisable.


Pour la récurrence : je te propose une récurrence forte sur la dimension n de ta matrice.
Le principe est en fait de se ramener à partir d'une matrice orthogonale de dimension n à une matrice orthogonal de dimension inférieure à n, qui elle va être diagonalisable (par récurrence).

Je repose donc ma question de la dernière fois :
On a Cⁿ=E_λ+F_λ (où la somme est directe et orthogonale).
Soit B une base orthonormée adaptée à cette somme directe (il est possible d'en trouver une car Eλ et Fλ sont orthogonaux).
Quelle forme a la matrice U dans B ?

Silk

oui je viens de me rendre compte de mon erreur... la matrice est diagonalisable sur Eλ par définition et sur Fλ par récurrence

[silk78]

la matrice est diagonalisable sur Eλ par définition et sur Fλ par récurrence

Oui c'est l'idée. Reste quand même à prouver que déjà on peut parler de matrice sur F_λ et qu'ensuite cette matrice est orthogonale pour pouvoir lui appliquer la récurrence.


Sinon, j'ai pensé à une démonstration plus rapide mais qui nécessite un peu plus de connaissances. Connais-tu le théorème de trigonalisation de Schur ?

[art17]

Oui c'est l'idée. Reste quand même à prouver que déjà on peut parler de matrice sur F_λ et qu'ensuite cette matrice est orthogonale pour pouvoir lui appliquer la récurrence.


Sinon, j'ai pensé à une démonstration plus rapide mais qui nécessite un peu plus de connaissances. Connais-tu le théorème de trigonalisation de Schur ?

non je ne connaissais pas

[silk78]

Le théorème te dit que pour toute matrice M à coefficients complexes (et donc aussi réels), il existe une matrice unitaire V (c'est à dire telle que V^-1=^tV*, avec V* la matrice conjuguée de V) telle que la matrice T=^tV*MV soit triangulaire supérieure.

En appliquant se résultat à notre matrice orthogonale U, on a T=^tV*UV.

D'où ^tT*=^t(VU*V*)=^t(VUV*) car U est réelle.
Soit encore, en utilisant la transposée d'une multiplication :
^tT*=^tV*^tUV=^tV*U^-1V=T^-1.

Ensuite, reste à se rappeler que la transposée d'une matrice triangulaire sup est triangulaire inf, et que l'inverse d'une matrice triangulaire sup est aussi triangulaire sup.
On a donc T à la fois triangulaire supérieure et inférieure et donc diagonale.

Silk