Matrice de passage

[invite0eea0508]

Bonjour,

Voici l’énoncé de mon problème:

On considére E=R2[X] le R-e.v. des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égale à 2, Be la base canonique de E et B~e={-1+X+X^2,1+X}

1/ Soi f un endomorphisme de E tel que :

A=Mat(f,Be,Be)
=(3 1 1)
(1 3 -1)
(1 -1 3)
a/ Déterminer P=mat(ide,B~e,Be) la matrice de passage de Be à B~e


La solution est :
P= ( 1 1 1 )
(1 0 1 )
(1 0 0 )

Je ne comprends pas du tout la méthode du changement de base, si quelqu'un pouvait me l'expliquer dans cette exemple je lui en serais grandement reconnaissant.
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[invite371ae0af]

la base canonique de E est {1,X,X²}

pour trouver la matrice de passage il faut que tu exprimes les vecteurs de la base B~e en fonction de ceux de la base canonique

ne manque t-il pas un vecteur dans B~e?

[invite0d9b859e]

B~e={-1+X+X^2,1+X}

Bonjour, il y a pas un problème dans ton énoncé?
B~e devrait être une base de dimension 3 et non 2.

Sinon, quand tu fais un changement de base de Be vers B~e, il te faut exprimer en colonne chaque vecteur de B~e en fonction de ta base Be.

Au vu de la matrice de passage que tu proposes, je dirai plutôt que B~e=vect.

[invite0eea0508]

Ah oui j'ai fait une erreur en faites c'est B~e={-1+X+X^2,1+X^2,1+X}

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

si c'est la bonne base
la correction de ton exo est fausse
la matrice de passage doit être
-1 1 1
1 0 1
1 1 0

[invite0d9b859e]

Alors dans ce cas-là, ta matrice de passage est

[invite0eea0508]

En faites mon problème est que par exemple on a ça:

u(x1,x2,x3)=(x1+x2,x3-x1,x2-x3)

soient Be={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} et B~e={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} deux bases de E.

1/Calculer Mat(u,Be,B~e) par calcul direct

u(1,0,0)=2*(1,0,0)+(-1)*(1,1,0)+0*(1,1,1)
Ce que je ne comprend pas c'est comment on obtient le 2 le -1 et 0
Merci pour votre aide.

[invite0d9b859e]

Tu as u(1,0,0)=(1,-1,0)=a(1,0,0)+b(1,1,0)+c(1,1,1 )=(a+b+c,b+c,c)

Donc, en posant ton système, tu as successivement:
- c=0
- b+c=b+0=-1 d'où b=-1
- a+b+c=a-1+0=1 d'où a=2

[invite0d9b859e]

Pour être plus précis, tu as u(1,0,0)=(1,-1,0) dans ta base Be canonique.

C'est pour trouver les coordonnées dans la base B~e que tu poses le système.

[invite0eea0508]

Merci beaucoup ça marche parfaitement! !