unicité de la transformée de Fourier dans L2: de quoi on parle?

[invite2e2f3fcd]

Bonjour,

La définition de la transformée de Fourier part d'une fonction définie en domaine temporel , sinon , e.g. dans [Bony, Cours d'Analyse, 2001, pp. 163] ou [Rudin, Functional Analysis, 1973, Ch. 7]. Pour , on a la définition

En partant d'une fonction continue qu'on rend discontinue sur un ensemble de mesure nulle , l’évaluation de cette intégrale vaut toujours la même chose. En fait, on peut donc définir toute une classe de fonctions à laquelle on associe un seul représentant unique dans le domaine fréquenciel.

Pourtant, j'entends parler de l'unicité de cette transformée dans le deux sens: du domaine temporel au fréquenciel et l'inverse ce qui nous permet de partir de à et ensuite par la TR inverse on retrouve du départ.

Est-ce que vous voyez de quelle unicité on parle? Est-ce l'unicité d'une classe de fonctions dans l'espace , ou peut-être du seul représentant continue à l’intérieur de cette-dite classe?

Merci.
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[invite986312212]

salut,

en général on définit les espaces L^p comme espace quotient de l'espace des fonctions dont l'intégrale de la p-ième puissance est finie par le sous-espace des fonctions presque partout nulles, donc ta question me semble vide de sens.

[invite2e2f3fcd]

..ta question me semble vide de sens.

Ok, c'est possible que je m'exprime mal. Je vais essayer de reformuler: j'aimerais avoir, si possible, quelques éléments de compréhension sur l'unicité de la TF et TF inverse: de quel type d'unicité on parle et qu'est-ce ça implique? Peut-être l’hypothèse de la continuité de la fonction de depart?

[sebsheep]

Alors on est pas obligé de parler de continuité. Tu peux avoir des classes de fonctions L1 n'admettant aucun représentant continu (par exemple, l'indicatrice de [0,1/2] dans L1(0,1)).

L'unicité de la transformée de Fourier est au sens Lp, c'est à dire "unicité de la classe de fonction", car dans une même classe, on ne peut pas distinguer 2 fonctions du point de vue de l'intégration.

[A voir en vidéo sur Futura]

[GrisBleu]

de quel type d'unicité on parle et qu'est-ce ça implique?

C'est une unicite presque partout: les fonctions sont toutes egales sauf sur un ensemble de mesure nulle (ca peut quand meme etre qque chose d'aussi importqnt que Q)