Matrice au cube nulle

[inviteb0d31a2b]

Bonjour,
Un problème m'est posé:
Peut-on trouver une matrice A de format 3x3 telle que A² est non-nulle et A³ = 0.
La même question est ensuite répétée avec A³ non nulle et A⁴ nulle.
La question a l'air toute simple, mais je n'arrive pas à trouver une méthode autre que le tâtonnement pour trouver une solution.
Merci d'avance de votre aide.
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[invite899aa2b3]

Bonjour,
pour la première question prendre par exemple (ce n'est pas parachuté par hasard, c'est juste que si une matrice convient alors il existe un vecteur tel que ; partir de là on écrit l'endomorphisme représenté dans la base ).
Pour la deuxième, si une telle matrice existait, on pourrait trouver un vecteur tel que . Que dire de la famille ?

[inviteb0d31a2b]

partir de là on écrit l'endomorphisme représenté dans la base ).

Au risque de passer pour la débutante que je suis... moi c'est à partir de là que je ne comprends pas très bien ce que cela signifie, concrètement. Je ne sais pas si c'est le vocabulaire qui est différent ("écrire l'endomorphisme", je n'avais jamais entendu) ou si je suis sensée réussir cet exercice via un autre moyen.

[invite899aa2b3]

Endomorphisme est un terme un peu "pédant" pour parler d'une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui-même. As-tu vérifié si mon exemple marche ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb0d31a2b]

Oui, l'exemple marche. Maintenant il faut juste que je comprenne comment tu l'as trouvé!
Merci pour "endomorphisme", je ne savais pas. Mais du coup, tu écris une application linéaire dans une base que tu ne connait a priori pas (vu qu'on cherche M) et tu la déduis ensuite? Et de quelle application linéaire s'agit-il? Celle qui abouti à une matrice M³ nulle?

[invite899aa2b3]

L'application linéaire est celle associée à la matrice . On a

ce qui montre que c'est bien la bonne représentation.

[inviteb0d31a2b]

ok, je n'aurais pas pensé à faire quelque chose d'aussi simple!
Mais ça joue là parce qu'on écrit l'endomorphisme dans une base à 3 dimensions, non? dans le cas de la deuxième matrice, la base a quatre dimensions, mais on cherche toujours une matrice 3x3.

[invite899aa2b3]

Oui, en effet le fait que l'on soit en dimension joue un rôle capital dans cet exercice.
Pour la deuxième question, en fait la famille de mon premier message serait libre, ce qui n'est pas possible dans un espace de dimension .

[inviteb0d31a2b]

Merci beaucoup, en tout cas, pour l'aide pour la première partie de la question!