Equa diff du second ordre

[invited1100c14]

Bonjour,

Alors voila je m'entraine avec des équa diff du second ordre et je trouve toujours un obstacle dans mes équations

comment trouver la solution particulière?

Je sait qu'il faut qu'elle soit de la même forme que le membre de droite?

Ex y'' - 3y' -18y = xe^4x

le second membre étant xe^4x
la forme qui me vient à l'idée c'est kxe^4x
mais non en regardant la correction il s'agit de (kx + h)e^4x
Je ne comprend pas !! y a t'il une logique la dedans si oui j'aimerais bien la comprendre!! (je suis dsl mais ça me soule!!!)
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[invite9617f995]

Encore salut,

Il existe effectivement une logique derrière ça et une règle qu'il vaut mieux connaître si on veut éviter de tâtonner trois plombes avant de trouver le résultat.

On traitre ici d'une équation différentielle à coefficients constants (c'est ton cas ici), de polynôme caractéristique ϖ, dont le second membre est de la forme P(x)e^λx avec λ un réel et P un polynôme de degré p.

Dans ce cas, on va chercher une solution particulière sous la forme Q(x)e^λx avec Q un polynôme de degré p+n_λ, où n_λ est la multiplicité de λ en tant que racine de ϖ. Attention Q peut posséder des termes de degré inférieurs à p+n_λ même si P n'en possède pas (ce qui correspond il me semble à ta question).

Remarque importante : si jamais λ n'est pas racine de ϖ, alors n_λ=0, et tu cherches alors la solution avec un polynôme de même degré que P.

En premier exercice, peux-tu appliquer cette règle ici et justifier la forme donné dans ton corrigé ?

Silk