Longueur d'une spirale pour un angle donné

[invitefd41cdf1]

Bonjour,

Savez-vous s'il existe une fonction me permettant de connaitre l'angle nécessaire d'une spirale (d'archimède) pour atteindre une certaine longueur ?

J'entends par 'longueur de spirale' la distance parcouru par le crayon sur une feuille de dessin.

L'angle pourrait être supérieur à 360°. Cela doit dépendre du 'pas d'écartement'. J'entends par ce terme l'éloignement de la mine de crayon par rapport au centre de la spirale, pour un angle donné.

Je recherche une fonction du style : longueur = f(angle, pas)

J'espère être clair, je n'ai pas les termes mathématiques approprié.

Merci
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[invite9617f995]

Bonjour,

Je ne connais pas trop les spirales d'Archimède mais je me lance. Si j'en crois Internet, l'équation polaire d'une spirale d'Archimède est avec a un paramètre positif (est-ce le pas d'écartement ?).

La longueur d'un arc en coordonnées polaires, avec l'angle theta variant de a à b est donné par :


Dans notre cas, on cherche l'angle que l'on doit parcourir pour atteindre une longueur L, depuis l'angle 0, donc on a :


En remplaçant r et r' par leur expression, on a :



Si je ne me suis pas trompé, l'intégration donne :

où argsh est la fonction argument sinus hyperbolique (réciproque du sinus hyperbolique)

L'expression explicite de argsh donne L en fonction de phi :


Je ne sais pas si il existe une formule explicite qui donne phi en fonction de L (j'en doute un peu au vu de la dernière expression), mais il y a sans doute moyen de calculer phi numériquement.

Silk

[invitefd41cdf1]

Merci Silk78 pour ta rapidité et ton efficacité,

Je t'avoue que ça me dépasse de beaucoup. De mon coté j'étais plutôt parti sur une suite permettant une approximation. Je comptais additionner le quart des périmètre des cercles utilisé pour construire une spirale approximative (http://cyberlesson.free.fr/Cybermath...artspirale.htm).

[sylvainc2]

Si tu peux utiliser un site web pour les solutions, va voir
http://www.wolframalpha.com/

Si tu entres par exemple:
L=a/2*(x*sqrt(1+x^2)+ln(x+sqrt(1+x ^2)))

en remplaçant L et a par des valeurs, il va te donner une solution numérique approximative pour l'angle x en radians.

[A voir en vidéo sur Futura]