J'ai un petit problème avec l'exo suivant :
soitune suite de réels strictement positif décroissant ( avec
soit f(z) la série entière associé à an, montrer que f n'admet aucun zero dans le disque ouvert unité.
J'ai supposé qu'il y avait un tel zero : z, j'ai assez facilement que le conjugué de z est aussi une racine, mais après ... je ne sais pas trop comment faire.
Si quelqu'un pouvait m'aider, merci d'avance
Indice : Si tu multiplies ta série entière par (1-z), tu n'introduis aucun zéro de plus dans le disque unité ouvert. Si tu peux montrer que la norme de cette nouvelle fonction est strictement supérieure à 0 dans le disque unité ouvert, tu déduiras que cette fonction n'y est jamais nulle. En divisant par (1-z) (qui n'est jamais nul dans ce disque), la série entière ne l'est pas plus.
j'avais penser à diviser par 1-z mais pas à multiplier .
Quand j'ai multiplier, j'obtiens :
je regarde cette nouvelle fonction en module, et je minore grâce à l'inégalité triangulaire :
et la grosse somme à droite, je peux la majorer par a0- L où L est la limité de an. (donc a0>=L>=0)
et j'obtiens le résultat.
Merci pour l'aide
