Etude d'une série entière

[invite82bd8b9c]

Bonjour, je dois trouver le rayon de convergence de Σunx^n et faire son étude pour x=+-R où un= cos(2nπ/3)/(n+cos(2nπ/3)).
(les π sont des pi) et n appartient aux réels.

J'ai donc trouvé un rayon de convergence égal à 1, mais je voudrais une confirmation... Voilà comment j'ai procédé:
|un|<1/|n-1| et donc R>1.

Mais si x>1, la suite (unx^n) n'est pas bornée comme on le voit en considérant la suite extraite des termes d'indices multiples de 3.
Donc R=1.

En revanche, je ne vois pas trop comment faire l'étude...
Peut être avec Σ(jx)^n, mais je ne vois pas trop comment m'en servir.

Merci d'avance.
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[invite82bd8b9c]

Personne n'a d'idées, au moins pour savoir si ce que j'ai fait est juste... ?

A l'aide svp, c'est important.

[invitea6f35777]

Bonjour,

Tu peux trouver le rayon par critère de d'Alembert quitte séparer la série en trois suivant la congruence de modulo . Tu trouves , tu dois donc considérer la série pour et , je te conseille de regrouper les termes 3 par trois pour obtenir une nouvelle série tu devrait observer des comportements différents dans les deux cas.

[invite82bd8b9c]

Merci pour ta réponse. Ma méthode ne marchait pas pour trouver le rayon ?

Je ne vois pas bien comment regrouper par 3.
Si je prend x=1,
j'ai en développant:
Σcos(2nπ/3)/(n+cos(2nπ/3))=1-1-1/3+1/4-1/7-1/9...
=-1/3-1/252 ???

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3240c37d]

On a donc , d'ou

Pour : . Compare avec
Pour : . Utilise le critère des séries alternées.

[invite82bd8b9c]

Merci bcp Mmu !! je vais essayer comme ça !

[invite82bd8b9c]

En revanche, je n'arrive pas à relier
u_3k+u_3k+1+u_3k+2 pour x=1 à Σ(1/k²)...

[invite82bd8b9c]

Quelqu'un aurait-il une autre idée car selon mon prof, la convergence de la série de tg u_3k+u_3k+1+u_3k+2 n'entraine pas nécessairement la convergence de la serie de tg u_n.

Ca ne doit pas être trop dur mais je ne vois pas...

[invitea6f35777]

Oui c'est vrai dès que les termes d'une série ne sont pas tous positifs, la convergence avec des termes groupés n'entraine pas toujours la convergence sans grouper les termes, le meilleur exemple étant



La série
est divergente même si on peut obtenir des séries convergentes en groupant de certaine façon les termes. Mais si le terme général tend vers et que le nombre de termes que l'on groupe ensembles reste borné alors il n'y a aucun problème la convergence de la série des termes groupés entraine la convergence de la série Réfléchis 2s pourquoi c'est vrai et comment on le démontre. Indication: pour montrer la convergence d'une série il faut montrer que la suite de ses sommes partielles converge, si tu notes les sommes partielles, montre que dans le cas de ton exo la convergence de la série des termes groupés entraine la convergence de . Que peut tu dire de



Quand à la comparaison avec , calcul les limites

[invite82bd8b9c]

Je vais y réfléchir. Merci !!