Endomorphisme diagonalisable

[invite22260340]

Bonjour tout le monde,

Je suis entrain de faire un exercice et j'ai également la correction. Petit problème 1, je n'ai pas réussi l'exo, enfin que en partie et petit problème 2 je n'ai pas compris la correction.

Voici le lien:
http://mp.cpgedupuydelome.fr/pdf/CCP...CCP%202009.pdf

(Tout en un, énoncé et correction).

Il s'agit de l'exo 2 partie 2.

Je ne comprend pas:Si tr(M) = 0 alors f(M) = tr(A)M. Pour M matrice de l’hyperplan des matrices de trace nulle, f(M) = λM avec λ = tr(A). On en déduit que tr(A) est valeur propre de M et le sous-espace propre associé est de dimension au moins n²− 1.

Si quelqu'un peut m'expliquer les parties en gras, je lui serai très reconnaissante.

Merci bcp.

MMO
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[Tiky]

Bonjour,

Tout d'abord, il faut savoir qu'un espace vectoriel est un hyperplan si et seulement s'il est le noyau d'une forme linéaire non-nulle. La fonction trace est une forme linéaire non-nulle. Par conséquent son noyau est un hyperplan. On choisit M un élément de son noyau.

Il reste simplement à remarquer que la dimension de est . Il faut distinguer deux cas, et

[Tiky]

J'ai oublié de préciser que la dimension de l'hyperplan des matrices de trace nulle est évidemment .

[invite22260340]

Je n'avais pas pensé à cette propriété. Je vous remercie!

[A voir en vidéo sur Futura]