Réduites d'une fraction continuée.

[fred3142]

Bonjour à tous,

Je suis en train d'étudier les fractions continuées et la notion de réduites d'une suite d'entiers apparaît : si est une suite d'entiers strictement positifs (sauf éventuellement ), on définit par récurrence les suites associées et par 0 et pour tout et une définition analogue pour sa cousine .

On montre alors que pour tout . C'est là (si j'ai bien compris) tout l'intérêt de ces suites : le rapport est une écriture fractionnaire de la fraction continuée , qui a en plus la bonne idée d'être sa forme irréductible.

J'aimerais que quelqu'un m'explique comment on peut deviner ces suites et . Une fois qu'on a défini ces suites par récurrence, il est facile de vérifier que ..., mais comment deviner ces relations de récurrence. Comment à fait le premier qui s'est dit : "je cherche la forme du numérateur et du dénominateur dans l'écriture irréductible de la fraction "?
La relation de récurrence n'est pourtant pas bien compliquée, mais je trouve que ça ne saute pas aux yeux (c'est peut-être moi qui ne vois pas clair ). C'est pour ça que je me dis qu'il doit y avoir une manière simple de voir cela. Bon éventuellement en essayant avec les premiers termes on voit que ça marche, mais encore une fois ça ne saute pas aux yeux je trouve.
Dans tous les documents que j'ai trouvé, on sort toujours du chapeau les définitions de ces suites et on vérifie que ça marche.

Merci d'avance.
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[invite4ef352d8]

Salut !

en fait ca viens d'un résultat un peu plus général... pour pouvoir passer de [n_0,..n_k-1] à [n_0,..n_k] on se rend compte qu'il y a un problème. on a bessoin de considérer la fraction rationel F_k-1 = [n_0,..n_k-1,X]

la on a la relation de récurence Fk = Fk-1(n_k + 1/x) (si mes souvenirs sont bon... à vérifier)

on voit facilement que Fk(x) est une homographie et on pose Fk(x)=(an+bn.x)/(cn+dn.x)

il ne reste plus que trouver la relation de récurence vérifier par les ai,bi,ci,di. on retrouve les coeficients pk et qk ensuite en evaluant sur une valeur de x bien choisit. le fait que les valeurs de pk et qk obtenue sont bien premier entre elle est un "heureux hasard" qui se vérifie par récurrence.

il est un peu tard pour que j'entre plus dans les détails, essai de faire les calcule, et éventuellement corrige les formules que j'ai donnée...

[fred3142]

En effet ça marche bien en considérant cette fraction rationnelle, merci je n'y avais pas pensé. Pour l'évaluation j'ai plutôt utilisé un passage à la limite (), et je retombe sur les relations de récurrence ci-dessus.

En effet c'est bien comme ça que je voyais les choses : on cherche d'abord une écriture fractionnaire possible et on se rend compte après coup que numérateur et dénominateur sont premiers entre eux (il y a certainement une raison plus profonde derrière cet "heureux hasard" mais cette démarche me satisfait, merci).

Merci beaucoup, cela répond à ma question.

[fred3142]

J'en profite pour poser une autre question à ce propos :

Si et si est la suite des réduites des quotients de x, alors, pour tout k, . Ca OK.
De là apparemment on peut en déduire directement que la fraction réalise la meilleure approximation rationnelle de x parmi les fractions de dénominateurs inférieurs à .
Je n'arrive pas à obtenir ce résultat.

Je considère p et q entiers, et je cherche à montrer que , il suffit donc de montrer . Mais je n'arrive pas à conclure (il ne doit pas me manquer grand chose...).
Je n'ai pas trouvé cette forme là du théorème d'approximation rationnelle, et mon livre suggère que la démonstration n'est pas bien compliquée ("on laisse à titre d'exercice la preuve du fait que ...").

Avez-vous des idées?

Par avance, merci.

[A voir en vidéo sur Futura]