Etude d une fonction
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Etude d une fonction



  1. #1
    invitef8936fbd

    Etude d une fonction


    ------

    Bonjour,

    J'ai un exo, et je bloque sur une question toute bete... du moins en apparence.

    Soit f(x) = ( x^3 - 3x² + 10x - 11 ) / ( x - 1 )²

    1. Etudier les limites aux bornes de son domaine de définition.

    Pour son domaine de définition, je trouve les réels privés de 1.

    Limite quand x tend vers +infini : +infini (se comporte comme x^3/x^2, c'est à dire comme x)
    Limite quand x tend vers -infini : -infini
    Limite quand x tend vers 1, x > 1 : -infini (car x-1 > 0)
    Limite quand x tend vers 1, x < 1 : -infini (x-1 < 0 mais (x-1)² > 0)


    2. Etudier les variations de f

    f'(x) = ( x^4 - 4x^3 - x² + 16x - 12 ) / ( x2 - 2x + 1 )²

    ( x2 - 2x + 1 )² toujours positif.
    Donc le signe de la dérivé dépend de x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12. Mais là, je n'arrive pas à le faire...

    Pouvez vous me donner un coup de pouce ?

    Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    invite33bf3f30

    Re : Etude d une fonction

    Salut, dans ton polynome de degré 4 tu as deux racines évidentes (2 et 3), tu peux donc faire une factorisation du type :


    (x-2)(x-3)(ax²+bx+c)

  3. #3
    invitef8936fbd

    Re : Etude d une fonction

    Ah oui, ça simplie nettement les choses.
    Mais comment tu as fait pour voir ses deux racines "évidentes" ? Car j'ai beau regarder, je vois pas comment tu les as vu de suite.

  4. #4
    invite33bf3f30

    Re : Etude d une fonction

    Salut, c'est un réflexe a avoir quand tu tombes sur ce genre de polynome sans solution apparente.

    Pour les trouver il suffit d'essayer, en général les racines évidentes sont comprises entre -4 et 4, un petit calcul de tete, et zou

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    GuYem

    Re : Etude d une fonction

    Les racines évidentes sont sensées être faciles à trouver. Pour les trouver on commence par tester des valeurs faciles de x : 0,1,2,-1,-2.

    D'ailleurs ici 1 est racine évidente aussi ; Lagoon l'a raté
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  7. #6
    invitef8936fbd

    Re : Etude d une fonction

    oui, les quatres racines sont : -2, 1, 2 et 3.

    Par contre après, comment savoir que le signe de la dérivée entre -2 et 1 par exemple ? (sans tracer la courbe à la calculette je veux dire, y'a t'il une méthode pour le faire de tete ?)

  8. #7
    invitef8936fbd

    Re : Etude d une fonction

    En fait, à tout hazard, vous êtes d'accord avec mes limites et ma dérivée ?

    Car un de mes amis ne trouve pas pareil pour la dérivée.

    Et il a mis +infini pour la limite quand x tend vers 1, x < 1. Mais comme un carré est toujours postif, moi je dis que le dénominateur tend vers 0+, et donc ça fait -infini.

  9. #8
    invite33bf3f30

    Re : Etude d une fonction

    Le carré est effectivement toujours positif.

    Sinon pour pas t'emmeler avec le signe, un simple tableau de signe avec tes 4 facteurs et c'est bon.

  10. #9
    invitea8d97425

    Re : Etude d une fonction

    Un truc très rapide pour trouver les racines "évidentes" d'un polynômes de faible degré :
    - on regarde le coefficient dominant et le coefficient du terme constant
    - ensuite, on utilise la propriété qui dit :
    Si p^q = 1, alors p/q racine de P <=> p divise a0 (coeff. constant) et q divise an (coeff dominant)*

    Par exemple ici, a0 = 12, donc on regarde si 1,2,3,4,6,12 (avec +- partout) sont des racines...

  11. #10
    invitef8936fbd

    Re : Etude d une fonction

    Merci pour la méthode Ithilian_bzh, c'est en effet super pratique.

    Et merci à tous pour vos réponses, vous m'avez vraiment aidé.

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