Probleme sur une étude de fonction ln (Term S)

[invited044dfb3]

Alors voila...je me suis lancée dans un problème type bac en maths mais j'arrive pas àa le terminer...si quelqu'un pouvait m'aider ça serait sympas

Partie A :
On considère la fonction f définie sur R par f(x)=e^-xln(1+e^x)
on note C sa courbe representative dans le plan rapporté au repere orthogonal (O;i;j). Lunité graf est 1cm sur laxe des abs et 10cm sur celui des ord.

1a déterminer la limite de f en -infini (j'ai trouvé 1)

b vérifier que , pour tout reel x : f(x)= x/e^x+e^-xln (1+e^-x) (ça jai trouvé oci)

c en déduire que la courbe C admet 2 asymptotes (c'est bon aussi : une en y=1 l'autre en y=0)

2 on considere la fonction g définie sur ]-1; +infini[ par :

g(t)= [t/(1+t)]-ln(1+t)

a démontrer que la fonction g est strictement décroissante sur [0; +infini[ (j'ai trouvé aussi)
b en déduire le signe de g(t) lorsque t plus grand que 0 ( j'ai trouvé que g était négative)

3a calculer f'(x) et l'exprimer en fonction de g(e^x), f' désignant la fonction dérivée de f

La je trouve pas la réponse...si quelqu'un peut m'aider merci

b En déduire le sens de variation de la fonction f puis dresser son tableau de variation

PARTIE B la je bloque completement

Soit F la fonction définie sur R par F(x)= intégrale de 0 à x de f(t)dt

1 étudier le sens de variation de la fonction F (la j'ai pa trouvé)

2a Vérifier que, pour tout nombre reel t,

1/(1+e^t)=1-[e^t/(1+e^t)]
ça j'ai trouvé et apres je rebloque encore
Calculer l'integrale de 0 a x de (dt/1+e^t)

b en déduire a laide d'une integration par parties, le calcul de F(x)

c Vérifier que F(x) peut s'écrire sous les formes suivantes :

(1) F(x)=x-ln(1+e^x)-f(x)+2ln2
(2) F(x)= ln(e^x/1+e^x)-f(x) +2ln2

3 déterminer lim en +infini de F(x)

4 déterminer lim en -infini de (F(x)-x) Donner une interpretation du résultat.

Voila si quelqu'un peut m'aider ça serait sympas. Merci beaucoup
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[invite3f53d719]

Tu bloques ou?

[invite3f53d719]

Scuse moi... j'avais juste vu le gros paquet d'énoncé...

Bon pour la 3.a), il suffit de dériver calmement, et ensuite de factoriser par exp(-x).

Pour la partie B, tu dois étudier des variations, il faut donc dériver, et la dérivé d'une primitive c'est plutot simple nan?
Puis pour le calcul de l'intégrale, il tu faut une primitive de exp(x)/(1+exp(x)), ce qui ne devrait pas être trop dure à trouver il me semble.

Eric

[invite6a212226]

Soit F la fonction définie sur R par F(x)= intégrale de 0 à x de f(t)dt

1 étudier le sens de variation de la fonction F (la j'ai pa trouvé)

Il me semble que f est toujours positive et donc F est croissante
A bientot

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite92876ef2]

Excuse-moi, Doohicked, mais lim (x->-oo) n'est pas égale à 1 ! Donc retourne à cette question avant de continuer.

Pense à tes formules de cours...

[invite92876ef2]

pardon j'ai confondu -oo avec +oo
J'ai rien dit, continue.

PS : "éditer" ne fonctionne pas !

[invite92876ef2]

3)a) si tu dérives f(x) = e^-x*ln(1+e^x), ne remarques-tu guère quelque chose ?

b) sert-toi donc du fait que exp(x)>0, A(à l'envers!)x€IR, aies ceci en tête !

[invite6012753f]

Bonjour,
je bloque sur le même problème
je ne vois pas comment tu as pu trouver que , pour tout reel x : f(x)= x/ex+e-x*ln (1+e-x)
peux tu préciser ta méthode ?
Merci

[inviteaf1870ed]

Il suffit de factoriser l'expression dans le ln par e^x

[invite7f0fe7a2]

Bonjour,

Je suis bloquée au début du problème : f(x)=(e-x) ln (1+ex)

Pourrais tu me donner ta justification du 1 que tu a trouvé ?

Merci

[invitea3b27f7e]

Réponse à la question 3a

calcul de f'(x)=[exp(-x) ln[(1+exp(x)]'; en appliquant la formule générale de la dérivation d'un produit de deux fonctions on aura:

f'(x)=[exp(-x)]'.ln[(1+exp(x)]+exp(-x).[ln(1+exp(x)]'

=-exp(-x).ln[(1+exp(x)]+exp(-x).exp(x)/[(1+exp(x)] {application de la formule (lnU)'=U'/U}

=exp(-x)[-ln[(1+exp(x)]+exp(x)/[1+exp(x)]] {en factorisant par exp(-x)}

=exp(-x)([exp(x)/[1+exp(x)]]-ln[1+exp(x)]) {l'addition est commutative}


sachant que g[exp(x)]=[exp(x)/[1+exp(x)]-ln[1+exp(x)] {en remplaçant t par exp(x)}

on a f'(x)=exp(-x).g[exp(x)]

[invitea3b27f7e]

Re : Probleme sur une étude de fonction ln (Term S)
Réponse à la question 3a

calcul de f'(x)=[exp(-x) ln[(1+exp(x)]'; en appliquant la formule générale de la dérivation d'un produit de deux fonctions on aura:

f'(x)=[exp(-x)]'.ln[(1+exp(x)]+exp(-x).[ln(1+exp(x)]'

=-exp(-x).ln[(1+exp(x)]+exp(-x).exp(x)/[(1+exp(x)] {application de la formule (lnU)'=U'/U}

=exp(-x)[-ln[(1+exp(x)]+exp(x)/[1+exp(x)]] {en factorisant par exp(-x)}

=exp(-x)([exp(x)/[1+exp(x)]]-ln[1+exp(x)]) {l'addition est commutative}


sachant que g[exp(x)]=[exp(x)/[1+exp(x)]-ln[1+exp(x)] {en remplaçant t par exp(x)}

on a f'(x)=exp(-x).g[exp(x)]