[term S] Dm étude fonction

[invite54a4b351]

Bonjour
On me propose un dm de maths, et je bloque dès la deuxiême question, qui conditionne les suivantes :
f(x)=ae^2x+be^x, avec e la conction expo bien sûr.
On me donne un graphique, avec cette seule indication : la courbe représentative C admet une tangente au point A(1;-e²/2) parallèle à l'axe des abscisses.
Bon, alors assez bêtement, j'ai fais f(1)=-e²/2, et donc ae2+be1=-e²/2, et donc a=-1/2, et b=0. Je me suis sûrement trompé ans ma résolution, parce que graphiquement, la courbe donnée et celle que j'obtient ne son en rien semblables ... Comment calculer a et b ??
Merci d'avance, Derbie
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[invite116650d7]

Il faut que tu utilises ce qu'on te donnes! A savoir cette histoire de tangente parallèle.
Tu sais que le coeff de la tangente en (c,f(c)) a pour coeff dir. f'(c). On te donne une autre indication : cette tangente est parallèle à l'axe des abcisses. Ce qui implique bien sûr que f'(1)=0.
Maintenant on calcul la dérivée. f'(x)=2aexp(2x)+bexp(x)=exp(x) (2aexp(x)+b)
f'(1)=e(2ae+b)
f'(1)=0<=>e(2ae+b)=0<=>2ae+b=0 soit b=-2ae.

On fait f(1)=-exp(2)/2<=>aexp(2)+bexp(1)=-exp(2)/2<=>
aexp(2)-2aexp(1)=-exp(2)/2<=>a=-exp(2)/2(exp(2)-2exp(1))
Tu simplifies, tu trouves b et c'est bon.

En fait tu as fait une grosse erreur. Tu as déterminé a et b (donc deux inconnues), à partir d'une équations, ce qui est impossible! Ici, tu as fait comme s'il s'agissait d'une identification, mais ce n'en est pas une!
Si tu veux déterminer a et b, il te faut considérer deux équations, l'une vient du point ou la droite est tangente, l'autre vient du parallèlisme de cette tangente.

[invitee6dbc8ad]

Salut,

A première vu, je dirait que :
Si on sait qu'on a une tangente en (1, -e²/2), ca veut dire qu'on a un point d'inflexion en ce point. Tu sais peut être qu'un point d'inflexion se trouve en annulant la dérivée seconde.

Donc tu calcules la dérivée seconde, tu remplaces x par 1 et tu égales le tout à 0.
Tu as un système à 2 équations pour trouver 2 inconnues.

Maintenant, je ne sais pas si tu as vu les points d'inflexion. Normalement, ton problème doit se résoudre comme ca, essayes comme ca, puis sinon, une personne plus mathématèsque que moi viendra t'aider à trouver la réponse.


@pluche et bon courage.

[invite54a4b351]

je ne pense pas que la solution se trouve dans les pionts d'inflexions (dervivée seconde je crois), car on n'en a quasiment pas parlé, ou alors juste un fois en remarque.
Merci pour votre aide, je regarde ce que vous m'avez dis, et je vous dis ce que je trouve.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite54a4b351]

Il
a=-exp(2)/2(exp(2)-2exp(1))

J'avoue que j'ai un peu de mal avec ce passage ... Je remplce b par la valeur qu'on a exprimée précedement, -2ae, mais pour la suite ...

[invite116650d7]

Salut,

A première vu, je dirait que :
Si on sait qu'on a une tangente en (1, -e²/2), ca veut dire qu'on a un point d'inflexion en ce point. Tu sais peut être qu'un point d'inflexion se trouve en annulant la dérivée seconde.

Donc tu calcules la dérivée seconde, tu remplaces x par 1 et tu égales le tout à 0.
Tu as un système à 2 équations pour trouver 2 inconnues.

Maintenant, je ne sais pas si tu as vu les points d'inflexion. Normalement, ton problème doit se résoudre comme ca, essayes comme ca, puis sinon, une personne plus mathématèsque que moi viendra t'aider à trouver la réponse.

Il n'y a pas du tout besoin de passer par les points d'inflexion. Regarde ma solution, elle convient beaucoup mieux pour un élève de TS. (puisque de toute façon elle n'a pas vu les points d'inflexion). De plus, tu n'utilises pas le fait que la tangente est parallèle à l'axe des abcisses.

Merci pour votre aide, je regarde ce que vous m'avez dis, et je vous dis ce que je trouve.

Il te reste juste à finir ma résolution pour trouver a et b. (je te laisse quand même un peu de boulot)

[invite116650d7]

J'avoue que j'ai un peu de mal avec ce passage ... Je remplce b par la valeur qu'on a exprimée précedement, -2ae, mais pour la suite ...

Il n'y a pas vraiment de suite. Simplifie l'expression de a, et remplace dans b comme tu a fait, resimplifie, et c'est fini!

[invite54a4b351]

Non, ça ne me dis trop rien ... Je détaille ce que j'ai fait :
ae²+be=-e²/2
ae²-2ae²=-e²/2
-ae²=-e²/2
a=e²/2e²

[invite54a4b351]

a=1/2 ... Mais je sais pas si c'est trop ça ...

[invite116650d7]

a=1/2 ... Mais je sais pas si c'est trop ça ...

Oui, bien sûr, c'est ça.

aexp(2)-2aexp(1)=-exp(2)/2

J'ai fait une erreur. C'est bien sûr aexp(2)-2aexp(2) puisque je multiplie par e.

[invite54a4b351]

ah, me voila rassuré. Pour b, je trouve -e^x

[invite54a4b351]

ah oui, mais non, parce que je trouve donc la relation f(x)=1/2e^2x-e^2x, mais quand je tace la courbe, ça marche pas ... (la courbe que j'obtiens ne correspond pas à celle qu'on me donne dans le dm ...) Me suis-je trompé ?

[invite116650d7]

ah, me voila rassuré. Pour b, je trouve -e^x

Non! b est une CONSTANTE! Par conséquent b=-e, et non -exp(x)!

[invite54a4b351]

Ah voila, donc f(x)=1/2e^2x-e^1*e^x. C'est plus ça ?

[invite54a4b351]

Ah, je viens de tracer, et ça marche pas non plus ... Là, je ne vois pas où esy la boulette ...

[invite116650d7]

f(x)=1/2e^2x-e^1*e^x.

Ca se simplifie en 0.5e^2x-e^(x+1).
Normalement, ça doit être bon.

[invite54a4b351]

Héhé, ce n'est pas bon ... Voulez vous les images pour comprarer les deux fonctions obtenues ?

[invite54a4b351]

C'est vrai que c'est quand même dommage, de pas trouver la bonne fonction alors que le develloppement me parait juste ...

[invitebfd92313]

tu te trompes peut etre en tapant sur ta calculette, hésite pas a mettre des parenthèses.

[invite54a4b351]

En fait, je le fais pas sur la calculette, mais avec l'ordi, le logiciel Graphmatica. Je remet ici la fonction que j'ai tapé :
y=0.5(e^2x)-e^(x+1)
Je ne pense pas que c'est de ce côté que ça n'aille pas ...

[invite54a4b351]

Tiens, ça c'est marrant, mais je viens de taper ça à la calculette et ... ça merche, les courbes correspondent ! Là, je ne vois pas pourquoi graphmatica me lache ...

[invite54a4b351]

et ben il ne me reste plus qu'à vous remercier pour votre aide ...