Bonjour à tous !
J'ai un ptit exo à faire pour ce lundi à propos de la fonction ln.
Alors voici l'exo :
PARTIE A :
Soit g la fonction définie sur ] 0 ; +oo [ par :
g(x) = x - ln (x)
1°) Etudier les variations de g.
2°) En déduire que, pour tout x de ] 0 ; +oo [, on a :
.
PARTIE B :
On considère la fonction f définie sur ] 0 ; +oo [ par :
1°) Justifier que f est bien définie sur ] 0 ; + oo [.
2°) Déterminer les limites de f en 0 et en +oo.
3°) Etudier les variations de f et donner son tableau des variations.
4°) Soit A le point de coordonnées (0 ; -1).
On considère le point M (x ; f(x)) pour x > 0.
Déterminer le coefficient directeur de la droite (AM) en fonction de x puis sa limite quand x tend vers 0.
Interpréter ce résultat graphiquement.
5°) Tracer la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormal.
Mes réponses :
PARTIE A :
1°) J'ai trouvé
Sur ] 0 ; 1 ], g(x) est décroissant et sur [1 ; +00[, g(x) est croissant.
Lim de g(x) en 0 : +oo, et lim de g(x) en +oo = +oo.
g(1)=1
J'ai ensuite regroupé tout ceci dans un tableau de variations. Et on peut remarquer que sur ] 0 ; +oo [, le signe de g(x) est positif.
2) D'après les limites en 0 et en +oo, et le tableau de variation (g(1)=1) ,
Y aurait t'il une autre façon de traiter cette question ?
PARTIE B:
1°) ln(x) est définie sur ]0 + oo[ et g(x)= x - ln(x) aussi. Par quotient, f(x) est aussi définie sur ]0 ; +oo [.
2°) Limite en +oo
Or, d'après A.1°),
Limite en 0
On en déduit que
3°) Après calcul, je trouve :
Or, (x-ln(x))^2} est toujours positif, le signe de f'(x) dépend donc de -ln(x).
Or on a : -ln(x)>0 ssi :
<-> -x > e
<-> x < e.
On a donc -ln(x) positif sur ] 0 ; e ] et négatif sur [e ; +oo [.
f(x) est donc croissant sur ] 0 ; e ] et décroissant sur [ e ; +oo [.
Je regroupe le tout dans un tableau.
4. La j'suis pas très sûr, j'ai fait :
Or
Le coefficient directeur de la droite AM est
Limite en 0 :
On sait que
Par quotient,
5°) Je trace la courbe.
Merci d'avance pour vos réponses afin corriger mes éventuelles erreurs !!
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