Exo : Etude de fonction (ln..) - Term S

[Grunk]

Bonjour à tous !

J'ai un ptit exo à faire pour ce lundi à propos de la fonction ln.

Alors voici l'exo :

PARTIE A :

Soit g la fonction définie sur ] 0 ; +oo [ par :
g(x) = x - ln (x)

1°) Etudier les variations de g.
2°) En déduire que, pour tout x de ] 0 ; +oo [, on a :
.

PARTIE B :
On considère la fonction f définie sur ] 0 ; +oo [ par :


1°) Justifier que f est bien définie sur ] 0 ; + oo [.
2°) Déterminer les limites de f en 0 et en +oo.
3°) Etudier les variations de f et donner son tableau des variations.
4°) Soit A le point de coordonnées (0 ; -1).
On considère le point M (x ; f(x)) pour x > 0.
Déterminer le coefficient directeur de la droite (AM) en fonction de x puis sa limite quand x tend vers 0.
Interpréter ce résultat graphiquement.
5°) Tracer la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormal.

Mes réponses :

PARTIE A :

1°) J'ai trouvé
Sur ] 0 ; 1 ], g(x) est décroissant et sur [1 ; +00[, g(x) est croissant.

Lim de g(x) en 0 : +oo, et lim de g(x) en +oo = +oo.

g(1)=1

J'ai ensuite regroupé tout ceci dans un tableau de variations. Et on peut remarquer que sur ] 0 ; +oo [, le signe de g(x) est positif.

2) D'après les limites en 0 et en +oo, et le tableau de variation (g(1)=1) , (1 est le minimum de g sur ]0 ; +oo et il est atteint en 1.)

Y aurait t'il une autre façon de traiter cette question ?


PARTIE B:

1°) ln(x) est définie sur ]0 + oo[ et g(x)= x - ln(x) aussi. Par quotient, f(x) est aussi définie sur ]0 ; +oo [.

2°) Limite en +oo

Or, d'après A.1°),



Limite en 0

On en déduit que .

3°) Après calcul, je trouve :

Or, (x-ln(x))^2} est toujours positif, le signe de f'(x) dépend donc de -ln(x).
Or on a : -ln(x)>0 ssi :
<-> -x > e
<-> x < e.

On a donc -ln(x) positif sur ] 0 ; e ] et négatif sur [e ; +oo [.

f(x) est donc croissant sur ] 0 ; e ] et décroissant sur [ e ; +oo [.

Je regroupe le tout dans un tableau.

4. La j'suis pas très sûr, j'ai fait :


Or , on a donc :


Le coefficient directeur de la droite AM est . On reconnait :

Limite en 0 :
On sait que
Par quotient, .

5°) Je trace la courbe.

Merci d'avance pour vos réponses afin corriger mes éventuelles erreurs !!
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[enderalartic]

salut , ben theoriquement on est pas la pour te corriger , mais bon partie a ca a l air d aller , pour B.1 , il faut que tu montres que x-lnx !=0

[enderalartic]

b3 je te fais confiance pour la derivee (ton prof le fera t il?) ln 1= 0 pas ln e, le reste a l air bon meme si tu sautes parfois des étapes , mais bon au lycee c'est assez toléré

[Grunk]

Pour B3°) est-ce qu'il faut ne faut pas plutôt dire que :






Parce que sur la calculatrice, je vois en traçant f(x) qu'il est croissant sur ]0 ;e ] et décroissant sur ]e; +oo], mais alors, d'û vient ce "1" (du ?)

Merci de vos réponses !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Grunk]

pour B1, puisque , , non ?

[indian58]

Effectivement.
Pour la B)4), je suis d'accord.

[matthias]

Tu devrais peut-être vérifier la dérivée de f.

[Grunk]

Effectivement ma dérivé était fausse :

la vrai dérivé c'est (je crois) :



Et on a bien :






Merci pour vos réponses !