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Exo : Etude de fonction (ln..) - Term S



  1. #1
    Grunk

    Exo : Etude de fonction (ln..) - Term S


    ------

    Bonjour à tous !

    J'ai un ptit exo à faire pour ce lundi à propos de la fonction ln.

    Alors voici l'exo :

    PARTIE A :

    Soit g la fonction définie sur ] 0 ; +oo [ par :
    g(x) = x - ln (x)

    1°) Etudier les variations de g.
    2°) En déduire que, pour tout x de ] 0 ; +oo [, on a :
    .

    PARTIE B :
    On considère la fonction f définie sur ] 0 ; +oo [ par :


    1°) Justifier que f est bien définie sur ] 0 ; + oo [.
    2°) Déterminer les limites de f en 0 et en +oo.
    3°) Etudier les variations de f et donner son tableau des variations.
    4°) Soit A le point de coordonnées (0 ; -1).
    On considère le point M (x ; f(x)) pour x > 0.
    Déterminer le coefficient directeur de la droite (AM) en fonction de x puis sa limite quand x tend vers 0.
    Interpréter ce résultat graphiquement.
    5°) Tracer la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormal.

    Mes réponses :

    PARTIE A :

    1°) J'ai trouvé
    Sur ] 0 ; 1 ], g(x) est décroissant et sur [1 ; +00[, g(x) est croissant.

    Lim de g(x) en 0 : +oo, et lim de g(x) en +oo = +oo.

    g(1)=1

    J'ai ensuite regroupé tout ceci dans un tableau de variations. Et on peut remarquer que sur ] 0 ; +oo [, le signe de g(x) est positif.

    2) D'après les limites en 0 et en +oo, et le tableau de variation (g(1)=1) , (1 est le minimum de g sur ]0 ; +oo et il est atteint en 1.)

    Y aurait t'il une autre façon de traiter cette question ?


    PARTIE B:

    1°) ln(x) est définie sur ]0 + oo[ et g(x)= x - ln(x) aussi. Par quotient, f(x) est aussi définie sur ]0 ; +oo [.

    2°) Limite en +oo

    Or, d'après A.1°),



    Limite en 0

    On en déduit que .

    3°) Après calcul, je trouve :

    Or, (x-ln(x))^2} est toujours positif, le signe de f'(x) dépend donc de -ln(x).
    Or on a : -ln(x)>0 ssi :
    <-> -x > e
    <-> x < e.

    On a donc -ln(x) positif sur ] 0 ; e ] et négatif sur [e ; +oo [.

    f(x) est donc croissant sur ] 0 ; e ] et décroissant sur [ e ; +oo [.

    Je regroupe le tout dans un tableau.

    4. La j'suis pas très sûr, j'ai fait :


    Or , on a donc :


    Le coefficient directeur de la droite AM est . On reconnait :

    Limite en 0 :
    On sait que
    Par quotient, .

    5°) Je trace la courbe.

    Merci d'avance pour vos réponses afin corriger mes éventuelles erreurs !!

    -----
    Le bon sens est la chose du monde la mieux partagée

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  3. #2
    enderalartic

    Re : Exo : Etude de fonction (ln..) - Term S

    salut , ben theoriquement on est pas la pour te corriger , mais bon partie a ca a l air d aller , pour B.1 , il faut que tu montres que x-lnx !=0

  4. #3
    enderalartic

    Re : Exo : Etude de fonction (ln..) - Term S

    b3 je te fais confiance pour la derivee (ton prof le fera t il?) ln 1= 0 pas ln e, le reste a l air bon meme si tu sautes parfois des étapes , mais bon au lycee c'est assez toléré

  5. #4
    Grunk

    Re : Exo : Etude de fonction (ln..) - Term S

    Pour B3°) est-ce qu'il faut ne faut pas plutôt dire que :






    Parce que sur la calculatrice, je vois en traçant f(x) qu'il est croissant sur ]0 ;e ] et décroissant sur ]e; +oo], mais alors, d'û vient ce "1" (du ?)

    Merci de vos réponses !
    Le bon sens est la chose du monde la mieux partagée

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Grunk

    Re : Exo : Etude de fonction (ln..) - Term S

    pour B1, puisque , , non ?
    Le bon sens est la chose du monde la mieux partagée

  8. #6
    indian58

    Re : Exo : Etude de fonction (ln..) - Term S

    Effectivement.
    Pour la B)4), je suis d'accord.

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  10. #7
    matthias

    Re : Exo : Etude de fonction (ln..) - Term S

    Tu devrais peut-être vérifier la dérivée de f.

  11. #8
    Grunk

    Re : Exo : Etude de fonction (ln..) - Term S

    Effectivement ma dérivé était fausse :

    la vrai dérivé c'est (je crois) :



    Et on a bien :






    Merci pour vos réponses !
    Dernière modification par Grunk ; 21/03/2006 à 14h11. Motif: TeX
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