[Term S] DM -> une fonction exponentielle

[invite6fdbc4ed]

bonjour bonjour, qui dit vacances de la Toussaint dit : DM a faire chez soit histoire de pas s'ennuyer

voici l'énoncé de l'exercice que je n'arrive pas (comprends pas surtout ...) :

Le plan est rapporté à un repère orthonormal R=(O:I:J)

On considère les droites Δ1 et Δ2, d'équations respectives, dans le repère R . y=(5/4)(x+1) et y=(5/4e)(x+5)

Déterminer des nombres réels x₁ et x₂, avec x₁ # x₂, et une fonction exponentielle f, c'est-à-dire une fonction de la forme -> Ce^kx où C et k sont des constantes réelles, telle que la courbe représentatives C_f de f soit tangente à Δ1 au point d'abcisse x₂
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Voila ce que moi j'ai essayé de faire ... Je n'ai pas très bien compris la chose demandé...

C_f tangente à Δ₁ pour a=x₁ (Ta)
C_f tangente à Δ₂ pour a=x₂ (Tb)

Δ1 Ta =F(x₁)-F'(x₁)*(x-x₁)
-et là je trouve un truc bizarre

Δ1 Tb =F(x₂)-F'(x₂)*(x-x₂)
-là aussi un truc bizarre

en gros j'ai pas fait grand chose ne comprenant pas ce qui est demandé, donc si vous pouviez maider merci d'avance
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[invite6ed3677d]

Bonjour,
J'ai du mal à comprendre tes notations Ta et Tb que tu multiplies par des droites pour obtenir des expressions analytiques. C'est pas très propre tout ça !
"a", c'est quoi ?

[invite6fdbc4ed]

euh oui, en plus j'ai vu une ptite faute de frappe

Δ1 Ta =F(x1)-F'(x1)*(x-x1)
-et là je trouve un truc bizarre

Δ2 Tb =F(x2)-F'(x2)*(x-x2)
-là aussi un truc bizarre

"pour Δ1 on a la tangente (a) = F(x1)-F'(x1)*(x-x1)"

euih oui en y reflechissant bien c 'est vrai que c'est pas propre...

[invite612d1d91]

Bonjour.
Il y a quatre inconnues dans cette histoire. Avec les données dont on dispose, il est impossible de les trouver. Quel est le rôle de la deuxième droite ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Bonjour.

De mon côté, j'ai essayé un truc mais je n'aboutis qu'à la valeur de x₂... x₁ n'apparaissant nullepart... A moins que j'ai raté un épisode de l'exercice.

Ce que j'ai fait :
- détermination de l'équation de la tangente T_f à C_f en x₂
- T_f est la droite Δ₁ passant en x₂.
C'est sur cette partie en gras où un doute affreux s'installe
De là, je trouve : x₂ = 1/k

On est bien ennuyé : ni de x₁, ni de Δ₂ à l'horizon

C_f ne serait-elle pas tangente simultanément aux deux droites Δ₁ et Δ₂?

Duke.

[invite6fdbc4ed]

oups, je rectifie oui vous avez raison c'est ça :

Déterminer des nombres réels x₁ et x₂, avec x₁ # x₂, et une fonction exponentielle f, c'est-à-dire une fonction de la forme -> Ce^kx où C et k sont des constantes réelles, telle que la courbe représentatives C_f de f soit tangente à Δ₁ au point d'abscisse x₁ et à Δ₂ au point d'abscisse x₂

[Duke Alchemist]

...De là, je trouve : x₂ = 1/k...

Il fallait lire x₂ = 1/k -1 (bien sûr )... C'est bien ça, hein ?


Bon, le principe reste le même :
* Tu détermines les équations des tangentes à C_f en x₁ et en x₂.

* Celle en x₁ est la droite Δ₁
=> un système à résoudre en x₁

* Celle en x₂ est la droite Δ₂
=> un système à résoudre en x₂

Voilà, voilà...
Si tu as un doute, indique-nous ce que tu trouves pour l'équation de la tangente à C_f.

[invite6fdbc4ed]

ba en fait j'ai calculé en x₁ la tangente à Δ₁, je trouve Tx₁ = 5/4x+5/4...donc normalement Ce^kx doit étre egale à Tx₁ c.a.d. Ce^kx = 5/4x+5/4 mais je suis bloqué là !!

pour celle en x₂ c'est encore pire , mon calcul est horible

pouvez vous m'aider un peu....

[Duke Alchemist]

ba en fait j'ai calculé en x₁ la tangente à Δ₁, je trouve Tx₁ = 5/4x+5/4...donc normalement Ce^kx doit étre egale à Tx₁ c.a.d. Ce^kx = 5/4x+5/4 mais je suis bloqué là !!

pour celle en x₂ c'est encore pire , mon calcul est horible

pouvez vous m'aider un peu....

C'est l'équation de la tangente à Cf qu'il faut déterminer
(formule à appliquer : y = f'(x₁)*(x-x₁) + f(x₁)
avec f(x) = Ce^kx

La réponse reste toutefois surprenante : c'est valable pour des familles de fonctions

[invite6fdbc4ed]

je l'ai fais aussi : je trouve y = ce^kx(1-x+x₁)

mais je n'ai pas encore essayé pour x₂

[invite6fdbc4ed]

je comprends pas grand chose au probleme, et comme mes reponses sont tres bizarres, si je fais rien ça va pas le faire.... j'ai vraiment besoin d'un GROS coup de pouce

[Duke Alchemist]

Re-

On reprend calmement :
* Tf(x₁) | y = f'(x₁)*(x-x₁) + f(x₁)
Ce qui après calcul et réécriture donne :
* Tf(x₁) | y = kCe^kx₁*x + (1-kx₁)*Ce^kx₁

(Tu as oublié le ₁ de x₁ dans l'exponentielle ainsi que le k !... Quelle est la dérivée de Ce^kx ?)

Cette équation doit être la même que celle de Δ₁ | y = 5/4*x + 5/4 d'où, par identification, on a :
kCe^kx₁ = 5/4 (celui devant le "x")
(1-kx₁)*Ce^kx₁ = 5/4

Là, par substitution, tu trouves l'expression de x₁...

Même principe pour x₂... Je te laisse faire

Si tu as un doute, dis-moi ce que tu trouves pour x₁...

See ya.
Duke.

[invite6fdbc4ed]

ba avec ton conseil j'arrive au systeme suivant :

kCe^kx₁ = 5/4
(1-kx₁)(Ce^kx₁) = 5/4


apres calculs je trouve Ce^kx₁ = 5x₁/4 + 5/4

mais je pige pas comment on trouve x₁...

[invite6fdbc4ed]

ba en fait y a k qui me gène beaucoup ^^

x₁ = -(k-1)/k....

[Duke Alchemist]

Ben tu fais avec...

(d'où ma remarque sur les familles de fonctions...)

[invite6fdbc4ed]

oui mais je trouve x₁ = x₂ c'est bien précisé qu'ils doivent etre différents

[Duke Alchemist]

Ben pour moi ils le sont... (différents)

Revois le calcul pour x₂, il y a une légère différence.