Les complexes

[Formule1]

Bonjour à tous.

Je souhaiterai avoir votre aide sur la question suivante:

Résoudre dans C l'équation:
g(z)=2z^3-(1+2i)z²+(25i-1)z+13i=0
sachant qu'une des solution est réelle.

Voilà comment j'ai procédé:

Soit a un réel
Soit z=a une solution de g(z)=0
On a ainsi
g(a)=2a^3-(1+2i)a²+(25i-1)a+13i=0
g(a)=2a^3-a²-i2a²+i25a-a+13i=0
g(a)=2a^3-a²-a+i(-2a²+25a+13)=0

On doit donc avoir simultanément:
2a^3-a²-a=0 et -2a²+25a+13=0

Or si 2a^3-a²-a=0, alors a=0 ou a=1
Or si -2a²+25a+13=0, alors a=-1/2 ou a=26

Cependant, quelle solution de a est a retenir sachant qu'une des solution est réelle. ?

A première vue, aucune je dirai ...

Merci d'avance de votre aide

A très bientôt.

Formule1
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[Amanuensis]

Or si 2a^3-a²-a=0, alors a=0 ou a=1

3eme degré => deux solutions ?

[polo974]

Bonjour à tous.
...
Or si 2a^3-a²-a=0, alors a=0 ou a=1
...

ou a=...


(un truc en ^3 donne souvent 3 solutions...)

A très bientôt.

Formule1

A+

[Formule1]

Ou a= -1/2 donc la seule solution réelle est -1/2
merci.
Cependant, quelle est la formule pour trouver les 3 solutions d'une équations du 3ème degrés ?
Et du 4ème, 5ème ...

Et y a t-il d'autres solutions ???

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite652ff6ae]

Ou a= -1/2 donc la seule solution réelle est -1/2
merci.
Cependant, quelle est la formule pour trouver les 3 solutions d'une équations du 3ème degrés ?
Et du 4ème, 5ème ...

Et y a t-il d'autres solutions ???

A partir du 5e degré, il est impossible de trouver une formule donnant les solutions.

[Formule1]

et pour les 3ème et 4ème ?
Quelles sont les formules ?

Et les autres solutions de l'équation g , une idée svp ??

Merci d'avance

[Amanuensis]

Et les autres solutions de l'équation g , une idée svp ??

Diviser g(z) par (z+1/2), on obtient un polynôme du second degré, qu'on résout par la méthode usuelle.

[Formule1]

comment celà ?

[Elie520]

Connais-tu la division euclidienne des polynômes par exemple ?

Sinon, considère ton polynôme et une de ses racines. Tu as : et tu cherches c'est-à-dire ie donc .

Les deux autres racines de ton polynôme vérifient alors .

Voila Bon courage !

[Amanuensis]

On divise les polynômes presque comme on divise des entiers

2z^3-(1+2i)z²+(25i-1)z+13i divisé par z+1/2 :

Je prends les monomes de plus haut degré, et je fais le rapport : 2z^3 par z = 2z², je pose à droite 2z², je multiplie par z+1/2 et je soustraie:

2z^3-(1+2i)z²+(25i-1)z+13i - 2z²(z+1/2) =

-(2+2i)z²+(25i-1)z+13i

Je recommence : -(2+2i)z² divisé par z, ça fait -(2+2i)z, que je pose à droite (j'ai alors 2z² -(2+2i)z), et je fais la soustraction

-(2+2i)z²+(25i-1)z+13i - (-(2+2i)z(z+1/2)) = (25i-1+1+i)z+13i

soit 26iz+13i

Je recommence, 26iz divisé par z, cela fait 26i, je le porte à droite cela donne au total 2z² -(2+2i)z +26i ; je calcule le reste, qui est nul.

g(z) divisé par z+1/2 est donc égal à 2z² -(2+2i)z +26i

(sauf erreur de calcul, je l'ai fait à la volée, pas envie de relire et vérifier, c'est le principe que je cherche à expliquer...)